Еквівалентні нескінченно малі величини

Означення. Нескінченно малі величини (н.м.в.) називаються н.м.в. одного порядку мализни при якщо

Приклад. Н.м.в. та є н.м.в. одного порядку мализни при , бо

 

Означення. Н.м.в. називається н.м.в. вищого порядку мализни порівняно з н.м.в. при якщо

 

Приклад. Н.м.в. є вищого порядку мализни порівняно з н.м.в. при :

 

Означення. Дві н.м.в. називаються еквівалентними при якщо

Зауваження: При дослідженні границь відношення н.м.в. їх можна замінювати еквівалентними, тобто якщо еквівалентна при то

Виходячи з наслідків першої та другої особливих границь, можна записати таку низку еквівалентних н.м.в. при

x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ e^x – 1 ~ln (x + 1).

 

Як наслідок звідси випливає, наприклад, що при буде: e ^{3 x} – 1 ~ 3 x;
sin 5 x ~ 5 x і т.п.

Використовується шкала н.м.в. при дослідженні невизначеностей типу .

Приклад.

 

Лекція 3

Неперервність функції

Поняття неперервності функції

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо

Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності функції в точці можна зобразити так:

 

Звідси випливає, що для неперервності функції в точці мають виконуватися такі умови:

а) точка х = х ₀ належить області визначення функції тобто існує;

б) деякий окіл точки х = х ₀ входить до області визначення функції, наприклад

в) границя при дорівнює значенню функції в точці х = х ₀, тобто дорівнює .

Позначимо через приріст аргументу, а через — приріст функції (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

 

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу при , тобто

 

 

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо односторонні границі функції зліва й справа в цій точці існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто:

 

 

Означення. Функція називається неперервною на проміжку, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

Таким чином, поняття неперервності функції у точці задається чотирма, хоч і рівноправними, але різними за формулюванням означеннями. Використання конкретного означення неперервності функції в точці визначається специфікою задачі.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

Область визначення функції

Візьмемо довільне надамо приросту тоді приріст функції буде

Розглянемо

Дамо необхідні пояснення: при – н.м.в.; – величина обмежена отже, добуток є н.м.в.

Таким чином, з

Звідси функція неперервна тобто на всій області визначення.