Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність і — збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

Приклад. Довести, що при . При доведення очевидне. Нехай , тоді послідовність — монотонно спадна (див. рис. 2.8) і обмежена знизу . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність має границю, яку позначимо так: . Послідовність , за винятком першого члена, збігається з послідовністю , отже, . Звідси випливає, що , тобто або , але , отже, . Нехай тепер .

Розглянемо

 

 

Приклад.

Число е

Розглянемо послідовність . Можна довести, що ця послідовність монотонно зростає і обмежена . За теоремою Вейєрштрасса існує границя цієї послідовності, яку позначають так: .

Зазначимо, що число е = 2,7183... є основою натуральних логарифмів Взагалі, число е, як і число p = 3,14..., широко застосовується в різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом.

Задача. Суму а грн покладено в банк при р % річних. Як збільшиться ця сума за один рік, якщо вклад безперервно забирати і знову класти в банк?

Нехай вклад буде недоторканним цілий рік, тоді його приріст а вся сума .

Якщо вклад зняли через півроку і відразу поклали на півроку, то приріст за перше півріччя буде , а за друге – . Отже, вся сума за року буде

 

 

Аналогічно можна вважати, що коли брати з банку і знову класти 3 рази на рік, то за рік сума буде така:

,

 

а за рік

Розв’язком задачі буде границя

При сума для довільного р, як буде показано в підрозд. 2.7, .

Розглянемо деякі цифрові дані: при початковому вкладі , в умовах даної задачі, при річних сума за рік буде грн 83 коп. (а не 200 грн, якщо вклад не знімали цілий рік); при річних S = 102 грн 2 коп. (а не 102 грн, якщо вклад не знімати цілий рік).

 

Лекція 2 (частина 1)

ГРАНИЦЯ ФункціЇ

Поняття границі функції

Нехай функція визначена у деякому околі точки х = а, за винятком, хіба що, самої точки х = а.

Означення. Число b називається границею функції при , якщо для будь-якого існує число , таке що при виконується нерівність

Коротко це означення можна записати так:

На рис. 2.13 показано геометричну інтерпретацію , де за заданим e-околом числа b знайдено d-окіл числа а такий, що для всіх відповідні значення функції тобто графік функції лежить у смузі шириною 2 e.

Рис. 2.13

Приклад. Довести за означенням, що

Доведення. Візьмемо довільне число Покажемо, яким чином треба вибрати За означенням границі функції з нерівності має випливати нерівність . Для того щоб виконувалася така умова, досить вибрати .

Нехай область визначення функції включає нескінченний проміжок.

Означення. Число b називається границею функції , коли якщо для будь-якого існує число , таке що з нерівності випливає нерівність . Коротко це можна записати так:

При або функція може набувати нескінченно великих значень чи прямувати до нуля. Ці випадки можна проілюструвати такими означеннями.

Означення. Функція називається нескінченно великою величиною (н.в.в.) при , якщо для будь-якого яке б велике воно не було, існує число , таке що з нерівності випливає , тобто:

Означення. Функція називається нескінченно малою величиною (н.м.в.) при , якщо

Розглянемо односторонні границі для функції

Означення. Правостороння границя функції:

Означення. Лівостороння границя функції:

Теорема. Для існування необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

Приклад. Довести, що не існує.

Розглянемо односторонні границі:

а) ліворуч

б) праворуч

Рис. 2.14

Отже, не існує, бо односторонні границі хоча й існують, але не рівні між собою (рис. 2.14).