Загальні властивості функцій

Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад. Знайти область визначення функції

.

D (y) = (– 1; 0) (0; 1] — природна область визначення. Якщо за умовою задачі х — відстань, а це означає, що х ³ 0, тоді D (y) = (0; 1] — задана область визначення.

Означення. Функція y = f (x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х Î D виконується умова f (– x) = f (x) (f (– x) = – f (x)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х Î D, f (– x) ¹ ± f (x).

Приклад. y = cos x — парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. 3.2)), бо y (x) = cos(– x) = cos x = = y (x); y = arctg x — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо y (– x) = ±arctg(– x) = = – arctg x = – y (x); y = arccos x — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо y (– x) = arccos(– x) = p – arccos x ¹ ± y (x).

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Означення. Функція називається періодичною, якщо для виконується умова де число Т – період функції.

Приклад. – періодична функція з мінімальним періодом Т = p (див. рис. 3.5), бо

Рис. 2.4	Рис. 2.5

Означення. Функція називається обмеженою на множині D, якщо для всіх виконується умова де – деяке скінченне число.

Приклад. – обмежена функція для всіх х Î [– 1; 1] (рис. 2.6), бо .

Означення. Функція називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Приклад. – монотонно спадна функція при 0 < a <1, а при а > 1 – монотонно зростаюча (рис. 2.7).

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Елементарні функції

Основні з них:

1) степенева

2) показникова (рис. 2.8);

3) логарифмічна (рис. 2.7);

4) тригонометричні: (рис. 2.2); (рис. 2.9); (рис. 2.5); (рис. 2.10);

5) обернені тригонометричні: (рис. 2.6); (рис. 2.4); (рис. 2.5); (рис. 2.11).

Рис. 2.8	Рис. 2.9

 

Рис. 2.10 Рис. 2.11

 

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченної кількості алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:

 

– елементарна функція.

Означення. Функція називається алгебраїчною, якщо – розв’язок рівняння

 

де – многочлени.

Приклад. Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв’язком рівняння

.

 

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

 

 

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

 

, або .

 

Лекція 1 (частина 2)

Границя числової послідовності