Загальні властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий номер N, що при всіх виконується нерівність .

Приклад. Послідовність у розгорнутому вигляді така: . Для номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто

Нескінченно мала величина та її властивості

Означення. Послідовність називається нескінченно малою величиною (н. м. в.), якщо .

Приклад. — н.м.в., бо .

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

Приклад. Обчислити . Послідовність — н.м.в., бо є добутком обмеженої величини і н.м.в. .

Таким чином, за теоремою 2 .

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 4. Для існування границі а послідовності x_n необхідно і достатньо, щоб послідовність була н.м.в.

Наслідок. Якщо , то , де — н.м.в.

Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою і нескінченно малою величинами

Означення. Послідовність x_n називається нескінченно великою величиною (н.в.в.), якщо для будь-якого числа , яке б велике воно не було, існує номер N,такий, що при всіх виконується нерівність .

Якщо члени н.в.в., починаючи з деякого номера, всі додатні, то позначають якщо від’ємні, то — а якщо різних знаків, то —

Наприклад:

1)

2)

3)

 

Аналітичною мовою означення н.в.в. виглядає так:

 

 

За своїм означенням, н.в.в. — необмежена, але не кожна необмежена величина є н.в.в., наприклад послідовність 1, 0, 3, 0, 5, 0,... з членом — величина необмежена, але н.в.в. не буде. Справді, не всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно великими.

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

1. Якщо – н.м.в. і , то обернена до неї послідовність буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо y_n – н.в.в., то обернена до неї – н.м.в.

Граничний перехід при арифметичних операціях

Теорема. Якщо існують границі , то:

1)

2)

3)

За допомогою теореми можна виконувати граничний перехід при арифметичних операціях з послідовностями, але тільки в тих випадках, коли послідовності збіжні.

Приклад. .

 

На практиці такі докладні записи граничного переходу виконують рідко; як правило, граничний перехід при арифметичних операціях виконується усно.

Якщо умови теореми порушуються, то вираз під знаком границі спочатку перетворюють таким чином, щоб арифметичні дії виконувалися зі збіжними послідовностями, а потім виконують граничний перехід.

Приклад.