Стрельба из сверхдальнобойной пушки

Артиллеристами в 1914 г. был замечен поразительный факт. При стрельбе из дальнобойных орудий под большими углами (более 45°) дальность стрельбы вдруг резко возрастала. Это связано с тем, что снаряд сначала вылетал за пределы плотных слоев атмосферы в тропосферу, где сопротивление воздуха было незначительно. В 1914 г. немцы использовали это при обстреле Парижа. В книге Перельмана "Занимательная физика" в статье "Сверхдальняя стрельба" описывается этот факт.

Необходимо построить модель, описывающую полет снаряда при сверхдальней стрельбе из пушки по Парижу в 1914 г.

Исходные данные для построения модели:

· масса снаряда: 120 кг;

· калибр снаряда: 21 см;

· угол конуса снаряда: 2 a = 60°;

· начальная скорость: 2000 м/сек;

· угол стрельбы относительно горизонта: j = 52°;

· время полета снаряда: 210 сек;

· дальность стрельбы при угле 52°: 115 км;

· высота полета: 40 км;

· сила сопротивление воздуха: F_c = krSv²sin²a;

где k – эмпирическая константа, S - площадь сечения снаряда, v - скорость снаряда.

· зависимость плотности воздуха r от высоты y без учета влияния температуры:
r = r₀×exp(-ly),

где l = 0.125 1/км, r₀ = 1.18 кг/м³.

Необходимо подобрать константу k так, чтобы, снаряд пролетел расстояние L = 115 км от пушки до Парижа.

Как зависит дальность стрельбы этой пушки от угла стрельбы?

Изучите влияние ветра на движение снаряда. При этом надо иметь в виду, что в реальной атмосфере с высотой ветер меняется как по величине (которая может составлять десятки метров в секунду), так и по направлению.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли примем равным g₀ = 9.81 м/c². На высоте y в соответствии с законом всемирного тяготения g = g₀ (1+y/R)^-2, где R = 6400 км – радиус Земли. Для высоты y = 100 км различие между g и g₀ составляет около 3%. Поскольку изменение g с высотой описывается достаточно простой формулой, учет зависимость g(y) в численном расчете не представляет проблем.

Задачу можно решать либо в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, либо в невращающейся системе отсчета.

Во вращающейся системе отсчета проще учитывать силу сопротивления воздуха, поскольку атмосфера вращается вместе с Землей. Однако задача усложняется тем, что эта система отсчета является неинерциальной, и в ней появляются силы инерции – центробежная сила и сила Кориолиса.

Оценим влияние сил инерции на ускорение снаряда. Для угловой скорости вращения Земли имеем: w = 2 p /(24×3600) = 7.27×10^-5 рад/с. Центробежное ускорение перпендикулярно оси вращения Земли, и его величина дается формулой: a_цс = w²Rc os q, где q - широта. Для q = 50° получаем a_цс = 0.022 м/c².

Ускорение Кориолиса перпендикулярно вектору скорости снаряда и земной оси и численно равно a_кор = 2 wv×sinb, где b - угол между вектором скорости снаряда и земной осью. Для скорости снаряда v = 2000 м/сек получаем a_кор = 0.29×sinb м/c². Таким образом, пренебрежение силой Кориолиса в данном случае может дать погрешность до 3% в определении ускорения.

Значительно меньшую погрешность для рассматриваемой задачи дает пренебрежение искривлением земной поверхности. Связанная с этим относительная погрешность определения высоты будет порядка (L/R)², где L – дальность полета снаряда. Принимая L = 115 км, получаем (L/R)²» 0.03%.

В невращающейся системе отсчета сил инерции нет, и на снаряд действуют только две силы – сила притяжения к Земле и сила сопротивления со стороны движущегося воздуха. Если не учитывать сопротивление воздуха, то в этой системе отсчета снаряд будет двигаться по эллипсу. Для работы в этой системе отсчета необходимо пересчитать начальную скорость снаряда, а также скорость воздушных масс, и соответственно учесть, смещение земной поверхности при возвращении снаряда на нее. Преимуществом работы в этой системе отсчета является то, что написанная программа позволяет рассчитывать баллистические траектории движения ракет.

Прыжок с парашютом

Рассмотрите модель движения парашютиста с учетом сопротивления воздуха (сила сопротивления пропорциональна скорости для парашюта и квадрату скорости для человека). Учтите процесс раскрытия парашюта, в течение которого площадь парашюта возрастает линейно со временем. Сделайте запрет на выброс парашюта, если горизонтальная скорость парашютиста превышает одну десятую его вертикальной скорости. При вводе параметров учтите, что начальная высота меньше 10 км (в данной модели плотность воздуха и ускорение свободного падения рассматриваются как постоянные величины). Рассмотрите следующие случаи:

1) Парашютист не раскрывает парашют (фиксируются время падения и скорость при достижении земли). Начальная скорость равна нулю, и падение происходит строго по вертикали. Постройте графики зависимости от времени высоты, скорости и полной энергии парашютиста. Рассмотрите варианты движения с учетом и без учета сопротивления воздуха.

2) Парашютист раскрывает парашют на определенной высоте.