Визуализация результатов расчетов

Физическая модель

Тело имеет массу m и движется под действием двух сил: силы тяжести mg, направленной вертикально вниз, и силы сопротивления воздуха F_c, направленной в сторону противоположную скорости. Предполагаем, что начальная скорость тела достаточно мала, чтобы можно было пренебречь изменением величин g и r при перемещении тела. Ускорение тела находится из второго закона Ньютона.

Математическая модель

Пусть ось x направлена горизонтально в направлении броска, а ось y - вертикально вверх. Поскольку обе силы, действующие на тело, лежат в плоскости (x,y), то траектория тела также будет лежать в этой плоскости. Используя второй закон Ньютона, получаем систему из четырех дифференциальных уравнений:

Тело бросают в момент времени t = 0 с начальными условиями

Численный алгоритм

Для нахождения решения полученной системы дифференциальных уравнений используем метод Эйлера с постоянным шагом по времени t. Получаем систему разностных уравнений:

Визуализация результатов расчетов

 

Разделим экран на четыре окна. В первом окне будем изображать траекторию движения тела y(x), в остальных окнах построим графики зависимостей от времени y(t), v(t) и полной механической энергии тела

В качестве теста используем вариант с отсутствием силы сопротивления воздуха. В этом случае механическая энергия в точной постановке задачи сохраняется.

Для большей наглядности при исследовании зависимости движения от параметров результаты расчетов, полученные для разных значений параметров, отображаются одновременно на экране разными цветами.

 

 

При создании проекта необходимо рассмотреть следующие пункты:

1. Формулировка задания

2. Физическая модель

3. Математическая модель

4. Численный алгоритм

5. Компьютерное моделирование

6. Визуализация результатов расчетов

7. Интерпретация результатов

В формулировке задания необходимо отразить содержание задачи в целом.

1,2,3,4,7 – должны содержаться в отчете о разработке проекта.

 

Примеры тем для базовых проектов

 

Прыжок с парашютом

Рассмотрите модель движения парашютиста с учетом сопротивления воздуха (сила сопротивления пропорциональна скорости для парашюта и квадрату скорости для человека). Учтите процесс раскрытия парашюта, в течение которого площадь парашюта возрастает линейно со временем. Сделайте запрет на выброс парашюта, если горизонтальная скорость парашютиста превышает одну десятую его вертикальной скорости. При вводе параметров учтите, что начальная высота меньше 10 км (в данной модели плотность воздуха и ускорение свободного падения рассматриваются как постоянные величины). Рассмотрите следующие случаи:

1) Парашютист не раскрывает парашют (фиксируются время падения и скорость при достижении земли). Начальная скорость равна нулю, и падение происходит строго по вертикали. Постройте графики зависимости от времени высоты, скорости и полной энергии парашютиста. Рассмотрите варианты движения с учетом и без учета сопротивления воздуха.

2) Парашютист раскрывает парашют на определенной высоте.

Движение яхты

Разработайте компьютерную модель движения яхты. Движение яхты определяется направлением и силой ветра, ориентацией и площадью паруса, сопротивлением воды и углом поворотом руля. Предусмотрите возможность управление яхты путем изменения положения паруса и руля.

Карусель смеха

Разработайте компьютерную модель движения тела по горизонтально расположенному вращающемуся диску радиуса R. Тело, рассматриваемое как материальная точка, привязано к центру карусели упругой нитью жесткости k, имеющей пренебрежимо малую собственную длину. На тело при его движении по поверхности диска действует сила трения F_тр = -b×v. Здесь v – скорость тела относительно диска. На краю диска установлено ограждение, от которого тело упруго отражается.

Смоделируйте движение тела в неподвижной системе отсчета и в системе отсчета, вращающейся вместе с диском с постоянной угловой скоростью.

Посадка на Луну

По заданной круговой орбите вокруг Луны движется космический аппарат. Смоделируйте мягкую посадку этого аппарата в заданную точку на поверхности Луны. Известна общая начальная масса аппарата на орбите и масса топлива, которую можно использовать для торможения. Скорость истечения газов из реактивного двигателя принять равной 2 км/с. Попробуйте минимизировать общий расход топлива в процессе торможения, варьирую во времени скорость расхода топлива.

Распад спутника на орбите

Изучите последствия взрыва тяжелого спутника при его движении по орбите вокруг Земли. После взрыва спутник распадается на осколки, которые разлетаются сферически симметрично относительно центра масс системы со случайными начальными скоростями (в диапазоне от 0 до некоторой скорости v _макс). Столкновения осколков между собой и сопротивление воздуха не учитывать. Как влияет степень эллиптичности начальной орбиты спутника на “перемешивание” осколков?

Полет на Марс

Межпланетные полеты космических аппаратов требуют выбора оптимального момента старта с Земли и оптимизации траектории дальнейшего движения. Необходимым элементом в организации полета является регулярное компьютерное моделирование траектории полета с учетом поступающей телеметрической информации, что позволяет оперативно корректировать дальнейшее движение. Основным критерием оптимальности траектории является минимизация количества топлива, расходуемого на сообщение космическому аппарату необходимой начальной скорости и на возможные последующие коррекции траектории в процессе полета. Одной из таких конкретных задач является задача о выборе оптимальной траектории для полета с Земли на Марс.

Рассматривается двумерная задача движения материальной точки (космического аппарата) в гравитационном поле Солнца. Гравитационное притяжение аппарата к Земле и Марсу не учитывается. Задается момент старта космического аппарата с Земли (или Марса), соотнесенный с реальным расположение этих планет (конкретный год, месяц и день). Предполагается, что планеты равномерно вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам, лежащим в одной плоскости.

Для каждой даты старта проводится серия расчетов с разными начальными скоростями. Предполагается, что в процессе полета дополнительная коррекция траектории не проводится. Варьированием направления начальной скорости можно добиться попадания аппарата на Марс (или Землю). Определяется для каждой даты старта минимальная начальная скорость и время полета.

Желательна программная реализация автоматической оптимизации параметров.

Постройте графики зависимости величины найденной минимальной начальной скорости и времени полета от даты старта. Определите, какие дни в ближайшие 10 лет являются оптимальными для старта аппарата с Земли (с Марса). Необходимые данные найдите в справочниках.

Солнечная система

Смоделируйте движение планет вокруг Солнца без учета взаимодействия планет между собой. Предусмотрите возможность моделирования движения новой планеты, задаваемой пользователем в меню интерфейса программы (масса, удаление от Солнца, скорость и направление движения в начальный момент времени). Постройте таблицу периодов обращения планет вокруг Солнца на основе численного решения и данных, взятых из справочников (покажите на экране точное значение периода и погрешность численного значения в процентах). При проведении расчетов контролируйте точность сохранения энергии и момента импульса.

16. Движение планеты в гравитационном поле двойной звезды

Изучите движение планеты в гравитационном поле двух неподвижных звезд. Смоделируйте наиболее характерные типы траекторий. В эллиптической системе координат переменные разделяются, и задача решается аналитически. Сравните численные результаты с аналитическими.

Изучите движение планеты в гравитационном поле двух движущихся звезд одинаковой массы. Звезды вращаются вокруг их общего центра масс по круговой орбите. Массы звезд значительно превосходят массу планеты.

17. Движение двух планет вокруг массивной звезды

Рассмотрите движение двух планет вокруг неподвижной звезды с учетом взаимодействия планет между собой. Рассмотрите, в частности, случаи:

1) планеты имеют разные массы, и одна из планет является спутником другой планеты;

2) планеты имеют равные массы. В атомной физике этому случаю соответствует модель “классического” атома гелия, в которой два электрона движутся в поле массивного ядра.

В отдельном окне изобразите траекторию движения одной планеты в системе отсчета, связанной с другой планетой.

Гравитационная машина

При упругом соударении тела с движущейся стенкой энергия тела может либо уменьшаться, либо возрастать в зависимости от направления движения стенки. Этот эффект может использоваться для навигации космических аппаратов. При этом роль стенки выполняет движущаяся планета. Помимо изменения направления движения космического аппарата можно его притормозить, либо, наоборот, ускорить.

Смоделируйте движение космического аппарата в Солнечной системе, при котором можно было бы заметно увеличить энергию аппарата без существенных затрат топлива для достижения удаленных планет или вообще для выхода за пределы солнечной системы.

20. Формирование планетной системы из газового облака

Смоделируйте процесс формирования планетной системы из газового облака. Задайте диск, состоящий из n взаимно притягивающихся точечных частиц. Сообщите частицам начальные угловые скорости, пропорциональные расстоянию до центра диска. Далее динамика системы моделируется численно. Для создания возможности укрупнения частиц можно для малых расстояний между частицами ввести силу трения F = -kv, где v - относительная скорость частиц, а коэффициент k зависит от расстояния между частицами.

Одно из последних обсуждений проблемы формирования планет можно найти в журнале Science (301 №5632 (2003) 462): Lunine J. “Formation of Planets: Disk or Cores”; Boss A. “Responce”.

Физический маятник

Смоделируйте движение физического маятника, состоящего из шарика радиуса R и массы М, подвешенного на стержне длины L и массы m.

Исследуйте зависимость от начальных условий траектории движения маятника на фазовой плоскости (a,w), где a - угол отклонения маятника относительно вертикального положения, и w - мгновенное значение угловой скорости вращения маятника.

Введите силу трения F_тр = -b v, где v - скорость шарика.

Проведите расчеты колебаний с разными шагами по времени. Сравните рассчитанные зависимости a(t) для малых колебаний с аналитическими зависимостями.

Шарик на пружинках

Смоделируйте трехмерное движение маленького шарика массы m, прикрепленного к концам нескольких пружин, имеющих разные коэффициенты жесткости. Другие концы пружин закреплены в фиксированных точках пространства. При проведении расчетов контролируйте точность сохранения энергии системы. Предусмотрите возможность учета сил сопротивления среды.

Волны в упругой среде

Простейшая модель упругой среды, по которой могут распространяться продольные и поперечные волны - линейная последовательность материальных точек массы m, соединенных упругими стерженьками. Эти стерженьки могут испытывать растяжение-сжатие с модулем жесткости Е, а также поперечные смещения с модулем сдвига G.

Разработайте компьютерную модель распространения продольных и поперечных волн в такой системе и с ее помощью:

(а) оцените модули E и G для железа, считая, что расстояние между атомами равно 1 ангстрему, относительная атомная масса железа равна 55.84, скорость продольных волн 5850 м/с, а скорость поперечных волн 3230 м/c.

(б) исследуйте, какие поперечные колебания будут распространяться в такой системе, если в начальный момент времени

1) скорости всех масс раны нулю и одна из масс имеет начальное смещение;

2) все массы имеют нулевое смещение, и одна из масс имеет начальную ненулевую скорость.

Движение биллиардных шаров

Рассмотрите движение шаров на бильярдном столе при следующих предположениях: столкновения абсолютно упругие (между шарами и о борт стола), возможно трение шаров о стол и воздух, вращением шаров пренебречь. Смоделируйте движение в следующих случаях:

1) На столе находится один шар. Смоделируйте его движение с учетом трения до полной остановки или до попадания шара в одну из шести луз при заданной начальной скорости и направлении движения. Постройте график зависимости кинетической энергии шара от времени.

2) На столе находятся два шара. Смоделируйте их движение с учетом трения до “полной остановки или попадания в одну из шести луз” при заданных начальных скоростях и направлениях движения с учетом возможного столкновения шаров между собой. Постройте графики зависимости кинетической энергии от времени для каждого шара и график суммарной кинетической энергии.

3) На столе находятся несколько шаров..

Колебательный контур

Разработайте компьютерную модель колебательного контура, в котором последовательно соединены источник переменного напряжения U(t) =U₀×sin(gt), катушка индуктивности L, конденсатор емкости C и сопротивление R. Для такой цепи имеется характерное время T = 2p(LC)^1/2, которое можно использовать для обезразмеривания задачи. Проведите расчеты для собственных и вынужденных колебаний с разными шагами по времени. Сравните рассчитанные зависимости тока от времени I(t) с аналитическими зависимостями. Постройте резонансную кривую - зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний тока от частоты (в единицах w₀ = (LC) ^-1/2). Найдите время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в два раза. Зависит ли это время от начальной амплитуды?

Циклотронный резонанс

Однородное электрическое поле, направленное по оси x, изменяется по закону E(t) = E₀×cos(wt+j). По оси z направлено однородное магнитное поле с индукцией B. Изобразите траекторию движения электрона в плоскости (x,y). Как ведет себя во времени кинетическая энергия электрона?

Для случая B = 0 исследуйте зависимость траектории движения электрона от начальной фазы j, если в начальный момент времени скорость движения электронабыла направлена перпендикулярно полю. Сравните рассчитанные траектории с найденными аналитически.

Радуга

Радуга - оптическое явление, связанное с преломлением световых лучей на многочисленных каплях дождя. Радуга может наблюдаться только в стороне противоположной Солнцу. Наблюдаемые в радуге цвета чередуются в такой же последовательности, как и в спектре, полученном при пропускании солнечных лучей через призму. При этом внутренняя область радуги окрашена в фиолетовый цвет, а внешняя - в красный. Нередко над основной радугой возникает еще одна (вторичная) радуга - более широкая и размытая. Цвета во вторичной радуге чередуются в обратном порядке.

Представление о физическом механизме появления радуги были развиты Антонио Доминико, Рене Декартом и Исааком Ньютоном.

Рассмотрите движение светового луча через сферическую каплю воды для двух случаев - двукратного преломления и отражения в капле (первичная радуга) и двукратного преломления и двукратного отражения (вторичная). Для однородного падающего светового потока определить распределение интенсивности вышедшего из капли света для первого и второго случая в зависимости от прицельного параметра. Используя зависимость коэффициента преломления от длины волны света, нарисовать ход цветных лучей вблизи максимума интенсивности для первичной и вторичной радуги.

Используйте законы геометрической оптики:

Закон отражения: угол падения равен углу отражения;

Закон преломления: sina = sinb, где a - угол падения луча на границу раздела, b - угол преломления, n - коэффициент преломления.

Ответьте на вопросы: 1) Возможно ли наблюдение третьей радуги? 2) Как выглядела бы радуга, если бы коэффициент преломления воды был бы равен коэффициенту преломления для алмаза?

Остывание пластины

Смоделируйте процесс выравнивания температуры в металлической квадратной пластине. Процесс распространения тепла в пластине описывается уравнением теплопроводности, которое в двумерном случае на плоскости (x,y) имеет вид

.

Здесь T – температура, l - коэффициент теплопроводности. Задачу можно решать с использованием разностной аппроксимации этого уравнения. Пусть площадь пластины разбита квадратной сеткой с узлами (x_i,y_j), i = 0,…, n; j = 0,…, n. Расстояния между соседними узлами обозначим через h. Простейшей разностной схемой для этого уравнения является явная схема:

,

где t - шаг по времени, T_i,j^k – значение температуры в узле (i,j) на к -ом временном шаге.

Эта схема устойчива при выполнении условия 4tl/h² < 1.

Смоделируйте процесс выравнивания температуры в пластине в случае, когда центральная часть пластины площадью в 1% имеет постоянную температуру 100 °C, а оставшаяся часть пластины имеет начальную температуру 0 °С. На границе квадрата поддерживается постоянная температура, равная 0 °С.

Ядерный реактор

Рассмотрите работу гомогенного уранового ядерного реактора с использованием метода Монте-Карло (метод статистического моделирования) [9]. Реактор представьте в виде квадрата с заданной стороной a. В начальный момент в реакторе находится несколько десятков нейтронов. Стенки реактора поглощают нейтроны.

Средняя длина свободного пробега нейтрона до взаимодействия с каким-нибудь ядром равна l = 1.7 см. При взаимодействии нейтрона с ядром возможно с вероятностью 0.9632 - изотропное рассеяние нейтрона; с вероятностью 0.0152 - поглощение нейтрона без деления ядра; с вероятностью 0.0216 – поглощение нейтрона с делением ядра урана. При делении ядра урана в среднем вылетает 2.47 нейтрона.

Для упрощения задачи можно считать, что нейтроны до взаимодействия с каким-нибудь ядром пробегают одинаковое расстояние l. Принять, что если число нейтронов в реакторе становится больше 500, то реактор взрывается. Если же число нейтронов станет равным нулю, то реактор гаснет.

Постройте график зависимости числа нейтронов в реакторе от времени при заданном размере реактора a. Оцените критический размер реактора a_кр.

Рассмотрите реактор в форме круга радиуса a /2. Оцените для него критический размер.

Рассмотрите влияние на работу реактора поглощающих стержней (моделируемых в форме кружочков), помещаемых внутрь реактора.

 

Физическая модель

Тело имеет массу m и движется под действием двух сил: силы тяжести mg, направленной вертикально вниз, и силы сопротивления воздуха F_c, направленной в сторону противоположную скорости. Предполагаем, что начальная скорость тела достаточно мала, чтобы можно было пренебречь изменением величин g и r при перемещении тела. Ускорение тела находится из второго закона Ньютона.

Математическая модель

Пусть ось x направлена горизонтально в направлении броска, а ось y - вертикально вверх. Поскольку обе силы, действующие на тело, лежат в плоскости (x,y), то траектория тела также будет лежать в этой плоскости. Используя второй закон Ньютона, получаем систему из четырех дифференциальных уравнений:

Тело бросают в момент времени t = 0 с начальными условиями

Численный алгоритм

Для нахождения решения полученной системы дифференциальных уравнений используем метод Эйлера с постоянным шагом по времени t. Получаем систему разностных уравнений:

Визуализация результатов расчетов

 

Разделим экран на четыре окна. В первом окне будем изображать траекторию движения тела y(x), в остальных окнах построим графики зависимостей от времени y(t), v(t) и полной механической энергии тела

В качестве теста используем вариант с отсутствием силы сопротивления воздуха. В этом случае механическая энергия в точной постановке задачи сохраняется.

Для большей наглядности при исследовании зависимости движения от параметров результаты расчетов, полученные для разных значений параметров, отображаются одновременно на экране разными цветами.

 

 

При создании проекта необходимо рассмотреть следующие пункты:

1. Формулировка задания

2. Физическая модель

3. Математическая модель

4. Численный алгоритм

5. Компьютерное моделирование

6. Визуализация результатов расчетов

7. Интерпретация результатов

В формулировке задания необходимо отразить содержание задачи в целом.

1,2,3,4,7 – должны содержаться в отчете о разработке проекта.

 

Примеры тем для базовых проектов