Точні та наближені методи. Оцінка похибки наближеного розв’язку

Точні – це методи, які принципово дозволяють отримати точний розв’язок за скінчену кількість дій (кроків).

Наближені – ітерація, наближення до розв’язку (границі послідовності). Обмежуються певною скінченою наближеністю (відсікає нескінчену послідовність).

Між наближеними та точними методами, також є аналітичні та числові.

Існують різні методи знаходження наближеного розв’язку, тобто способи побудови послідовності ітерацій { x_n }, однак всі вони мають спільні етапи: задати початкове наближення, знайти наближення, перевірити умову виходу з ітераційного процесу.

Найбільш часто використовується наступний критерій зупинки ітераційного процесу: |x_n+1 – x_n|<ε, тобто різниця між сусідніми ітераціями становиться малою. Також для завершення ітераційного процесу використовується умова |f(x_n)|< ε, де f (x_n)– нев’язка методу.

Існують різні способи дослідження функції: аналітичний, табличний, графічний.

Похибка вимірювання — це відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної фізичної величини:

де - результат вимірювання величини ; - її істинне значення.

Похибка вимірювання є кількісною характеристикою точності вимірювання.

Розрізняють апріорні (теоретичні) та апостеріорні (практичної збіжності) оцінки похибки.

Апріорні оцінки виконуються ще до початку розв’язку задачі і використовуються саме формування задачі та алгоритм методу.

Для нескінченного ряду: , при , - точне,

При цьому не обов’язково знати точний розв’язок

n –const

Число a характеризує швидкість збіжності. Це число відіграє істотну роль в оцінці ефективності алгоритму. На відміну від a, стала с не має в таких оцінках якогось конкретного значення, с – невідома. З одного боку така оцінка корисна (показує швидкість спадання похибки при n кількості ітерацій). З іншого - нічого не дає для конкретної характеристики похибки.

Апостеріорні оцінки здійснюються на основі аналізу отриманих результатів. Розглянемо деякі проблеми апостеріорних оцінок:

Порівняння з віддаленими «точними» розв’язками.

Порівняння отриманих наближених розв’язків з наближеними розв’язками, отриманих іншими методами та авторами.

Оцінка результатів у критичних ситуаціях.

Оцінка практичної збіжності важлива характеристика, яку ми можемо отримати при реакції задач

a₁, a₂…a_n

Якщо після певної кількості ітерацій значення параметру a практично не змінюється, то кажуть, що процес практично збігається. Визначається потрібна кількість ітерацій *.