Аналіз мат. задачі. Коректність постановки мат. задачі

Анализ математической задачи проводится после её окончательной формулировки, с целью проверки мат. зад. на противоречия, ликвидация которых, может потребовать уточнения или изменения начальных условий.

Существуют два основных типа анализ: качественный и оценочный количественный. Количественные оценки могут дать основания упростить задачу, исключив из рассмотрения некоторые начальные условия/параметры. Качественный анализ состоит в выборе и обосновании алгоритма решения мат. Задачи.

Для математической задачи, анализ состоит из рассмотрения нескольких аспектов (ответа на некоторые вопросы):

1) к какому классу задач принадлежит рассматриваемая задача?

2) корректно ли она сформулирована?

3) какой уровень сложности задачи?

4) существуют ли аналогичные задачи для других систем?

После рассмотрения 1 этапа мы имеем такие сведения про рассматриваемую задачу:

- литература, где она упоминается/рассматривается;

- специалистов, которые работают с задачами данного типа;

- пути решения задач схожего/этого класса.

Выполнение второго этапа, позволяет ответить на вопрос, корректна ли задача (то есть, может ли она быть решена). Для определения корректности постановки задачи используют условия корректности (или условия Жака Адамара):

1) Задача имеет решение.

2) Решение задачи едино.

3) Решение задачи непрерывно зависит от условий задачи.

Рассмотрим 3 условие Адамара: Когда формируется мат. Задача, которая отвечает определенной системе, то в условие этой задачи входят определенные характеристики этой системы. Все они определяются экспериментально, а каждый эксперимент содержит неминучую ошибку/погрешность. Это приводит к ошибок/погрешностей в формулировки мат. задачи. Если даже эта задача решается точно, она все равно будет содержать ошибку/погрешность, связанную с погрешностью данных. При этом есть два варианта:

Если погрешность в данных невелика – то небольшая и ошибка в решении задачи (это правильный случай).

Даже небольшая погрешность в данных, приводит к большим погрешностям в решении мат. задачи.

Существует большое количество реальных задач, некорректных за Адамаром (пример ниже).

Первое условие Адамара: Для чистых математиков, важно доказать существование решения задачи, в то же время для практиков – наличие самого решения. И хотя, для большинства реальных задач, доказательства существования их решения не существует, это не мешает физикам их вполне успешно решать.

Второе условие Адамара, часто доказать значительно легче чем, существование решения этой задачи. Хотя часто, математическая задачи, может иметь определенные значения (точки бифукации), в которых она может иметь несколько решений.

3 этап анализа позволяет определить, можно ли решить данную задачу с необходимой точностью за разумное время.

4 этап – сверить решение задачи с уже решенными для других систем.

Пример для 3 условия Адамара:

На этом рисунке случай для 1 варианта – небольшое изменение положения шара в начальный момент, не приводит к существенной ошибке в решении мат. задачи.

 

На этом рисунке случай для 2 варианта – даже незначительное смещение шара относительно вершины, в корне меняет результат решения мат. задачи.