Класифікація мат. задач. Математичні аналогії

Построив математическую модель, переходим к определённой мат. задаче. Очень важно отнести эту задачу к определённому классу мат. зад. Какие преимущества даёт классификация математических задач:

1) Сокращение объёма необходимой литературы.

2) После классификации МЗ в наше распоряжение поступает уже разработанный аппарат исследования.

3) Можем воспользоваться опытом решения задач такого класса: оценить время, нужное для решения задачи, получить определенное представление о характере результата, оценить возможные трудности.

4) Даёт возможность обратиться соотв. специалистам. Очень часто разные прикладные проблемы сводятся к одним и тем же мат. задачам. Т. е., математика устанавливает связь между разными проблемами, такая связь наз. мат. аналогией. Пример мат. аналогии:

(амортизатор)

 

и колебательный контур

обе эти системы описываются одним уравнением

 

Рассмотрим уравнение Пуассона

1) прогиб мембраны краевое условие.

2) скручивание вала.

3) задача про равновесие кучи песка.

Это уравнение описывает движение идеальной несжимаемой жидкости, так называемые потенциальные течения такой жидкости. Это уравнение описывает процесс фильтрации жидкости. Так же разделение потенциала гравитационного и электрического полей, стационарное разделение тепла в теле.

Под оценкой сложности МЗ подразумевают оценку того, можно ли данную задачу решить в полной мере с допустимой точностью за допустимое время. Рассмотрим некоторые точки зрения, с которых следует оценивать сложность МЗ.

1) сложность класса задач

2)линейность/нелинейность

3)мерность задачи

4) стационарность или эволюционность

5)задача прямая или обратная или оптимизированная

1) Характер МЗ. (является ли задача задачей для конечных уравнений или для обычных диф. уравнений, или для уравнений в частных производных.)

2) Линейные задачи. Различие в сложности между линейными и нелинейными задачами очень существенно. Большинство известных методов решения относятся к линейным задачам.

Линейными называются системы, для которых справедлив принцип суперпозиции, который означает, что результат действия 2-х внешних влияний есть сумма результатов от действия каждого внешнего влияния на систему

3) Мерность задачи. Мерность связана с кол-вом неизвестных функций или неизвестных дискретных параметров от кот эта функция зависит. С ростом мерности существенно возрастает сложность задачи. Как правило, она не линейна. В дискретных задачах под мерностью понимают количество искомых значений дискретных параметров.

4) Зависимость от времени. Бывают МЗ, в которых решение не зависит от времени, а является функциями только пространственных переменных. Такие задачи называются стационарными или статическими. Бывают задачи, в которых решение существенно зависит от времени. Такие задачи наз. динамичными или эволюционными. Динамичные задачи сложнее статических.

5) Направленность МЗ. С точки зрения направленности задачи бывают: прямые, обратные и оптимизационные.

Прямая задача – задача нахождения решения при заданных условиях; задача состоит в том,

что задан состав системы, ее структура, связи между элементами и внешние воздействия. Надо найти эволюцию системы (например: дано -тело, материалы изготовления, найти - температуру в середине).

Обратная задача (задача идентификации) – задача, в которой по известному решению нужно восстановить соответствующее условие; в этих задачах известна эволюция системы, надо найти состав системы, ее структуру и т.д. Как правило, обратные задачи сложнее, чем простые т.к.:

а) их решение сводится к решению простых задач;

б) большинство непрямых задач являются некорректными с точки зрения условия Адамара.

Задача оптимального управления - нужно таким образом изменить условие задачи, чтобы получить наилучший результат; найти или состав системы или внешние влияния так, чтобы найти эволюцию системы, кот была бы наилучшей с точки зрения того или иного критерия.

Оптимизационные задачи сложнее, чем обратные.

Когда предварительный анализ сложности показывает, что невозможно решить МЗ в нужной мере, за нужное время при заданной точности, то необходимо упростить эту модель.