Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции

Функция называется возрастающей в некотором промежутке , если для любых двух значений и , принадлежащих этому промежутку, из неравенства

следует неравенство (рис.1)

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если для любых двух значений и , принадлежащих этому промежутку, из неравенства

следует неравенство (рис.2)

рис.1 рис.2

Теорема. Если в данном промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в соответствующем промежутке.

Теорема имеет простой геометрический смысл. Если в некотором промежутке касательная к графику функции образует с осью острый угол , то функция возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику образует с осью тупой угол , функция убывает.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Геометрически ясно, что функция будет монотонной и в том случае, когда её производная, сохраняя всё время постоянный знак, обращается в отдельных точках в нуль, касательная в которых параллельна оси .

Например, функция возрастает в любом интервале, так как её производная всё время положительна, кроме точки , где она обращается в нуль.

Экстремумы функций.

Точка из области определения функции называется точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такая δ - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Другими словами, максимумом (минимумом) функции называют такое её значение, которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых в точках, достаточно близких к данной и отличных от неё.

Если в точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в точке имеет место экстремум, значение функции в этой точке называется экстремальным, точка называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума.

Если точка является точкой экстремума функции, то или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума, поэтому необходимо в каждой критической точке проверить, выполняется ли достаточное условие экстремума.

Первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция дифференцируема в некоторой δ - окрестности критической точки . Тогда, если для всех из , а для всех из , то в точке функция имеет максимум (минимум); если же во всей δ-окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке экстремума нет.

Другими словами, если при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то - точка максимума; если при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума. Если же при переходе через критическую точку первая производная знака не меняет, то экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума функции.

Критическая точка является точкой экстремума функции, если первая не обращающаяся в нуль производная в этой точке имеет четный порядок. При этом, если эта производная отрицательна (положительна), то критическая точка является точкой максимума (минимума).

Например, пусть выполнены условия и , тогда:

если , то - точка максимума функции ;

если , то - точка минимума функции .

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Находим производную данной функции: . Используя необходимое условие экстремума, получаем уравнение для нахождения критических точек: .

Решаем это уравнение:

, (*)

;

Находим критические точки:

Рассмотрим интервалы: .

Выбираем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определяем знак первой производной, используя уравнение (*). Результаты удобно оформить в виде рисунка.

Итак, в точке первая производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, в точке функция имеет максимум, ; в точке первая производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, в точке данная функция достигает минимального значения, . В точке экстремума нет, так как производная знака не меняет.

Пример2. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Область определения данной функции: , т.е. .

Находим первую производную: .

Тогда при критические точки , , не существует при , но эта точка не принадлежит области определения функции, следовательно, не может быть точкой экстремума.

Для выяснения характера критических точек воспользуемся вторым достаточным условием экстремума.

Находим вторую производную: .

Определяем знак второй производной в критических точках: , т.е. в точке данная функция имеет максимум, ; в точке - минимум, .

Исследование функций на выпуклость и вогнутость.
Точки перегиба. Асимптоты.

График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке кривой, соответствующей этому интервалу (рис.1).

 

рис. 1 рис. 2

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

Пусть дважды дифференцируема на . Если на интервале , то график функции является выпуклым (вогнутым) на этом интервале.

Точка графика функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 2).

Необходимое условие точки перегиба.

Если - абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II-го рода.

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности критической точки . Тогда если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

Другими словами, если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

1. Прямая является вертикальной асимптотой кривой , если или .

2. Прямая является наклонной асимптотой кривой тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

,

или

, .

Частным случаем наклонной асимптоты при и является горизонтальная асимптота. Существование горизонтальной асимптоты выявляется проще, чем существование наклонной асимптоты. Дадим специальное правило нахождения асимптоты в этом случае.

3. Прямая является горизонтальной асимптотой кривой , если существует конечный предел или

Пример 1. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Решение. Область определения функции – вся числовая прямая.

Находим производные:

Приравняв к нулю вторую производную, получим критические точки второго рода:

так как для любых .

Отметив точку на вспомогательном рисунке и исследовав знак второй производной в её окрестности, получаем слева от точки (кривая выпуклая), а справа - (кривая вогнутая). Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно точка с абсциссой является точкой перегиба графика рассматриваемой функции. Ее координаты .

 

Таким образом, на интервале кривая выпуклая, а на интервале - вогнутая, - точка перегиба.

Пример2. Найти асимптоты кривой .

Решение.

Область определения функции .

Ищем вертикальные асимптоты:

Следовательно, прямая , т.е. ось есть вертикальная асимптота (и слева, и справа).

Горизонтальных асимптот нет, так как

т.е. оба предела не существуют (при вычислении пределов использовалось правило Лопиталя).

Ищем наклонные асимптоты:

т.е.

т.е. .

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота и влево, и вправо данной кривой (рис. 3).

 

Рис. 3