Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
1) Пусть бесконечно малая и при всех . Тогда является бесконечно большой. 2) Пусть бесконечно большая и при всех . Тогда является бесконечно малой. 3) Если и бесконечно малые, то , являются бесконечно малыми. 4) Если бесконечно малая и ограниченная последовательность, то является бесконечно малой. Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что при всех выполняется условие: . В частности, постоянная последовательность , где - число, является ограниченной. Можно доказать, что сходящаяся последовательность является ограниченной. Следовательно, к постоянной или сходящейся последовательности можно применять свойство 4): при умножении на бесконечно малую получим бесконечно малую . Свойства можно использовать для вычисления пределов, причем свойства 3) и 4) распространяются на любое конечное число слагаемых и множителей. Примеры. Найти пределы: 1) , так как , и являются бесконечно малыми и их сумма тоже. 2) , так как - ограниченная и - бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой. 3) или по-другому - ограниченная, - бесконечно малая бесконечно малая. Далее ограниченная и бесконечно малая. Действия с пределами. Даны и - две последовательности. Их суммой (разностью) называется последовательность ; их произведением называется последовательность ; их частным называется последовательность , если при всех . Теорема. Если сходится к и сходится к , то , и при для всех являются сходящимися, причем ; и , если . Эту теорему можно сформулировать по-другому: Теорема. Если существует и , и - числа, то существуют конечные пределы суммы, произведения и частного при для всех , при этом: ; и , если . Теорема применяется при вычислении пределов, при этом дополнительно могут использоваться и свойства бесконечно малых и бесконечно больших. Примеры. Найти пределы 1) 2) 3) Неопределенности. Теорема о действиях с пределами справедлива лишь в случае, если и являются числами. Можно доказать обобщенную теорему о действиях с пределами, в которой возможны равенства , , , и в случае частного . Запишем выводы обобщенной теоремы символически, например, справедливо: если , , то . Из этой строгой записи оставим только символическую запись: . Далее всю теорему запишем символически.
Обобщенная теорема. 1) 2) 3) , - число 4) , - число 5) - неопределенность 6) 7) , если 8) - неопределенность 9) , - число 10) , - число 11) , 12) - неопределенность 13) - неопределенность Рассмотрим конкретные примеры. 1) , , k – любое число. , . Можно взять конкретные k: k=3, k=0, k=5. 2) , , 3) , , 4) , , не существует, так как последовательность или подробнее -1, +1, -1, +1, -1, +1,... не может стремиться ни к какому числу. Таким образом, складывая и можем получить любое число k, можем получить также , , можем получить отсутствие предела. Это и считается неопределенностью, в отличие, скажем, от пункта 6), где при любых конкретных и обязательно получится, что . Обобщенная теорема позволяет расширить границы решаемых примеров, но не дает ответа в случаях неопределенностей , , и , так как в этих случаях ответа в общем виде нельзя дать – ответ зависит от конкретных последовательностей. Нахождение предела в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности. Существует ряд приемов раскрытия неопределенностей, которые рассмотрим на примерах. Примеры. Найти пределы: 1) Такой способ решения называется делением числителя и знаменателя на в высшей степени (здесь ) для неопределенности . 2) Такой способ называется умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю или знаменателю. 3) Этот способ называется сокращением на общий множитель (здесь ) числителя и знаменателя. Кроме того, использовали деление на высшую степень. Напомним, что Предел функции. Основные определения и понятия. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , быть может, за исключением самой точки . Число называется пределом функции при стремящемся к числу (пишут ), если для любого существует , что для всех , удовлетворяющих условиям , имеет место неравенство . Другими словами, число является пределом функции при , если для всех значений , достаточно мало отличающихся от числа , соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от числа (естественно в тех точках , в которых функция определена).
Рисунок дает геометрическую иллюстрацию определения. Число называется пределом функции при (пишут ), если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство . Иначе говоря, число является пределом функции при , если для всех значений , достаточно больших по абсолютной величине, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа . Рисунок дает геометрическую иллюстрацию определения.
Если , то график функции при неограниченном возрастании | | приближается к прямой . Прямая в этом случае называется горизонтальной асимптотой графика функции . Основные теоремы о пределах функций. 1. 2. 3. . Функция называется бесконечно малой при , если . Функция называется бесконечно большой при (пишут ), если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство . Если , то график функции при приближении к точке асимптотически приближается к прямой . Прямая является вертикальной асимптотой графика функции .
График имеет один из следующих четырех вариантов
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 262; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.112.69 (0.048 с.) |