Последовательность и ее предел.

Числовой последовательностью называется числовая функция , заданная на множестве натуральных чисел. Будем называть числовую последовательность просто последовательность. Обозначают ее так: , , , , и т.д. Индекс указывает на значение аргумента, - значение функции ().

Примеры последовательностей.

1) . . - члены последовательности; - член последовательности.

2) . . Подробная запись этой последовательности выглядит так:

Короткая запись этой последовательности . Можно найти любой член этой последовательности, зная . Например, , .

3)

Для последовательности можно рассматривать понятие монотонности (как частного случая монотонной функции), но нельзя рассматривать четность и периодичность, так как .

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера п справедливо неравенство . Если , то последовательность - убывающая (возрастающая). Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Геометрически последовательность можно изобразить двумя способами: 1) как функцию графиком на плоскости и 2) точками на прямой.

Например, для последовательности получим

 

 

Данная последовательность является строго убывающей.

Заметим, что при увеличении номера член последовательности приближается к числу 0, то есть расстояние от до 0 становится меньше любого задуманного положительного числа . Таким образом, при , стремящемся к , член последовательности стремится к 0. Дадим строгое определение этому понятию.

Число называется пределом последовательности , если для любого существует число , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство или по-другому: из

Смысл предела состоит в том, что при номерах , достаточно больших , члены последовательности близки к , а именно , где - любое число и, следовательно, можно взять сколь угодно малым (тогда сколь угодно близко к ).

Обозначают предел следующим образом:

или при .

Пример. Покажем по определению, что . Берем любое . Рассмотрим неравенство . В данном примере . Неравенство . В качестве возьмем . (Если взять - целая часть , то будет целым числом). Тогда получим заключение: для любого существует такое, что из , что означает .

, если для любого существует такое, что для всех натуральных из .

Смысл состоит в том, что при , достаточно больших, становится больше любого как угодно большого положительного числа .

, если для любого существует такое, что для всех из .

Смысл состоит в том, что меньше отрицательного как угодно большого по абсолютной величине числа при достаточно больших номерах , то есть члены последовательности расположены на оси как угодно далеко влево, если - большие номера.

, если для любого числа существует число такое, что для всех из .

Смысл состоит в том, что отстоят далеко влево или далеко вправо от нуля на оси, если номера - достаточно большие.

Примеры.

1)

2)

3)

Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел . Тогда говорят, что сходится к числу , и пишут при . В противном случае называется расходящейся.

Заметим, что расходится, если , или или либо, если не существует совсем.

Примеры.

1) не имеет предела

2) не имеет предела, так как не может стремиться ни к какому числу (в силу периодичности ), и в силу ограниченности, не может стремиться к или .

Последовательность называется бесконечно малой (б/м), если или, если для любого существует такое, что для всех из .

Последовательность называется бесконечно большой (б/б), если или для любого существует что для всех из .

Заметим, что из условий или и является бесконечно большой.

Примеры.

1) является бесконечно малой

2) является бесконечно большой

3) является бесконечно большой, так как при .