Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Матричный метод решения СЛАУ.
Систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными и определителем основной матрицы А системы, отличным от нуля, можно решать с помощью обратной матрицы. Пусть дана система уравнений (3), основная матрица А которой невырожденная. Система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле: , где - матрица, обратная к А. Пример. Решить систему предыдущего пункта матричным методом. Решение. Данная система в матричной форме имеет вид , где , , . Ее решение . 1) Находим обратную матрицу . 1. 2. , , , , , , , 3. 4. 5. 2) Ответ: , , . Метод Гаусса. Полный ответ на вопрос о существовании решения системы линейных уравнений с неизвестными дает следующая теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система уравнений (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы системы. Если ранги основной и расширенной матриц совпадают с числом неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной и расширенной матриц меньше числа неизвестных , то система (1) имеет бесконечное множество решений. В последнем случае неизвестных назовем базисным, а - свободными. Свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определяются уже единственным образом. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Метод Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы ее расширенная матрица оказалась трапециевидной (ступенчатой). После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения. Пример. Решить систему . Решение. Выписываем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду Если не учитывать последний столбец, найдем ранг основной матрицы ; учитывая последней столбец, найдем ранг расширенной матрицы . Число неизвестных тоже равно 3. Система совместна и имеет единственное решение. Полученной матрице соответствует эквивалентная система: Далее порядок действий очевиден. Из последнего уравнения ; подставляя это значение во второе уравнение, мы получаем . И наконец, из первого уравнения находим .
Замечания. При переходе от первой матрицы ко второй в качестве рабочей строки бралась первая, которая умножалась соответственно на 2 и (-1) и складывалась со второй и третьей строками. В результате мы получили нули в первом столбце. При переходе от второй матрицы к третьей в качестве рабочей строки бралась вторая, которая умножалась на (-2) и складывалась с третьей строкой. Пример. Исследовать систему . Решение. Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду. Так как , , то система несовместна. Пример. Решить систему . Решение. Так как , , то система совместна. Она имеет бесчисленное множество решений, потому что ранг матрицы меньше числа неизвестных. Восстановим систему по последней матрице: Базисными неизвестными являются и , переменная - свободной. Обратной подстановкой найдем и из системы: , где - любое действительное число.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 436; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.33.178 (0.007 с.) |