Нерегулярные потоки платежей

Рассмотрим общую постановку задачи определения параметров при анализе нерегулярных потоков платежей. Допустим имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке , то получим:

(3.1)

Современная стоимость потока определяется как сумма дисконтированных платежей:

(3.2)

где - дисконтный множитель по ставке .

Между и существует функциональная зависимость:

(3.3)

Дюрация – это средняя продолжительность поступлений. Зная современную стоимость потока платежей, для каждой выплаты определим ее вес

.

Из (3.2) следует, что

_.

Это значит, что каждый вес является долей современной стоимости, которую вносит выплата в момент . Дюрацией называют средневзвешенную сумму

(3.4)

Дюрацию используют при оценке риска изменения стоимости потока платежей в связи с изменением процентной ставки. Чем больше дюрация, тем больше скачок в текущей цене потока платежей при изменении процентной ставки.

 

Пример 3.1.График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени (время в годах будем отсчитывать от момента первой ссуды): 0 - 5 млн.руб., 1 - 15 млн.руб., 3 - 18 млн.руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало четвертого года при условии, что годовая процентная ставка 20%. Схематично условия задачи приведены на рис. 3.1. 5 15 18 -?     0 1 3 4 Рис. 3.1 По формуле (3.1) находим = 5 1,2^4 + 15 1,2^3 + 18 1,2 = 57,888 млн.руб. Определим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. По формуле (3.2) = 5 + 15 1,2^-1 + 18 1,2^-3 = 27,92 млн.руб. Определим дюрацию. Найдем веса платежей По формуле (3.4) (1 год 207 дней)

Пример 3.2. В условиях примера 3.1 изменим график платежей: 0 - 12,53 млн.руб., 1 - 15 млн.руб., 3 - 5 млн.руб. Схематично условия задачи приведены на рис. 3.2. 12,53 15 5     0 1 3 Рис. 3.2 По формуле (3.2) находим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. = 12,53 + 15 1,2^-1 + 5 1,2^-3 = 27,92 млн.руб. Определим дюрацию. Найдем веса платежей По формуле (3.4) (276 дней)

Запаздывающие ренты

Пусть в течение лет в банк в конце каждого годавносится по рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке процентов годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются лет, на второй - и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Наращенные к концу срока суммы каждого взноса составят:

Если ряд переписать в обратном порядке, он будет представлять собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Число членов прогрессии равно . Тогда

(3.5)

(3.6)

- коэффициент наращения ренты продолжительностью , с процентной ставкой . Следовательно,

(3.7)

Для определения современной стоимости ренты воспользуемся зависимостью (3.3).

(3.8)

где - коэффициент приведения ренты.

(3.9)

 

Пример 3.3.Для обеспечения будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной запаздывающей годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Величину фонда на конец срока определяем по (3.5): = 4 = 28,9 млн. руб. Современную стоимость этой ренты найдем по (3.8) получим: = 4 = 12,368 млн.руб. Т.о., все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение пяти лет.

Аналогичным образом получают формулы для других видов рент (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Формулы для расчета наращенной суммы S и современной

стоимости A постоянных запаздывающих рент

Количество платежей в году	Количество начислений % в году	Наращенная сумма S	Современная стоимость A
	m = 1
р = 1	m > 1
	m = 1
p > 1	m = p
	m p

Определение члена ренты. Исходные условия: задается или и набор параметров, кроме . Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, с ежегодным начислением процентов, то по формуле (3.7) получим:

(3.10)

Пусть теперь известна современная стоимость ренты. Тогда из (3.8) следует:

(3.11)

Пример 3.4.Определим размеры периодических взносов при решении двух следующих задач: а) создать целевой фонд (например, для погашения задолженности или обеспечения инвестиций) в сумме 100 млн. руб.; б) погасить в рассрочку текущую задолженность в сумме 100 млн. руб. Срок в обоих случаях 5 лет, процентная ставка 20%, платежи ежегодные в конце года. а) = 100, = 13,438 млн.руб. б) = 100, = 33,438 млн.руб.

Расчет срока ренты. Из выражений для определения и найдем . Так для годовой ренты с ежегодным начислением процентов находим из (3.5):

(3.12)

Пример 3.5.Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежегодно вносится по 10 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых? По формуле (3.12) находим: года. Если срок округляется до 6 лет, то необходимо несколько увеличить размер члена ренты для . В этом случае ежегодный взнос из (3.10) должен составить: млн.руб.

Аналогично получают формулы для расчета срока и для других видов рент (табл. 3.2).

Таблица 3.2