Формирование портфеля инвестиций на основе экспертной информации.

Для формирования портфеля инвестиций в условиях риска (задача Марковица) необходима информация об ожидаемой доходности и матрице ковариаций. Предполагается, что условия на период прогнозирования остаются неизменными.

Если эти предпосылки не выполняются, и требуется учесть не формализуемую информацию, можно воспользоваться данными экспертизы.

Рассмотрим задачу использования экспертной информации в случае, когда эксперты попарно сравнивают различные ценные бумаги (далее объекты).

Номер эксперта обозначим . Эксперт сравнивает каждую пару объектов и . Его оценка может выражать:

а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом : . Если наоборот, то .

б) балльную оценку предпочтения: .

в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект : .

г) во сколько раз один объект важнее другого: .

По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:

: например, , где число экспертов.

Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объект перед объектом .

Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .

Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .

Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).

Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:

, (6.19)

в частности , откуда , т.е. в матрице на диагоналях стоят 1.

Если условие (6.19) выполняется, то существует такой положительный вектор , что , где число объектов. Компоненты вектора это идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).

Реальная матрица условию (6.19) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.

Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :

. (6.20)

Эти равенства можно записать так:

. (6.21)

Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .

Для матрицы, удовлетворяющей условию (6.19), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый вектор собственным вектором (6.21).

Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число . Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (6.19), вектор ищется путем решения уравнения:

, (6.22)

причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.

Существуют специальные методы решения уравнения (6.22). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении

и .

и получаются на й итерации в соответствии с формулой

, (6.23)

где сумма всех компонент вектора , а в качестве можно взять любой положительный вектор, например, .

Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величина характеризует степень близости матрицы к идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (6.19).

 

Пример 6.3.Четыре объекта сравниваются двумя экспертами. Требуется определить коэффициенты важности объектов. Получены следующие результаты: и . Определяем средний балл . Выбираем . . и . Далее повторяем итерации.   . и . . и . Изменения прекратились и вычисления можно закончить. Выделенные средства расходуются пропорционально коэффициентам важности.

 

Глава 7. ФЬЮЧЕРСЫ И ОПЦИОНЫ

Фьючерсы

Финансовые фьючерсы являются одним из главных инструментов хеджирования рисков инвестирования в финансовые активы. Являясь по-существу форвардным контрактом, фьючерс имеет существенные отличия. Фьючерсный контракт – это соглашение между двумя сторонами о будущей поставке предмета контракта, которое заключается на бирже и условия которого стандартизованы. Так как условия стандартизованы, фьючерсные контракты обладают высокой ликвидностью. Это означает, что инвестор всегда сможет купить и продать фьючерсный контракт и в последующем ликвидировать свою позицию путем заключения оффсетной сделки.

Абсолютное большинство позиций инвесторов по фьючерчным контрактам ликвидируется ими в процессе действия контракта с помощью оффсетных сделок, и только 2 – 5% контрактов в мировой практике заканчивается реальной поставкой соответствующих активов.Заключение фьючерсных сделок, как правило, имеет своей целью не реальную поставку актива, а хеджирование позиций инвесторов или спекулятивную игру на разнице цен.

Сторона фьючерсного контракта занимает короткую позицию, если она берет обязательство поставить актив в будущем, то есть она продает контракт. Соответственно сторона, которая обязуется принять актив (покупает контракт), занимает длинную позицию. На рынках облигаций и акций, как и на любом товарном рынке, имеется различие между совершением покупки и продажи активов, поскольку всегда имеется ограничение на открытие короткой позиции, то есть на продажу активов, которых у продавца нет. На рынке фьючерсных контрактов такого различия нет. Покупка и продажа фьючерсов – это две симметричные операции, предъявляющие к держателям длинных и коротких позиций одинаковые требования. Так как контракт обязывает стороны совершить сделку в некоторый момент в будущем, от ее участников в момент покупки или продажи фьючерсного контракта не требуется наличия актива или всей денежной суммы будущей сделки. Более того, этого не требуется и в момент исполнения сделки, поскольку у сторон имеется возможность ликвидировать контракт с помощью оффсетной сделки.

Существенным преимуществом фьючерсного контракта является то, что его исполнение гарантируется биржей на основе специального механизма взаиморасчетов, называемого клирингом. Организацию, отвечающую за процедурную сторону всех сделок, заключаемых на фьючерсной бирже, называют клиринговой палатой. Она выполняет роль посредника между покупателем фьючерсного контракта и его продавцом. Это значит, что после заключения контракта противоположной стороной для каждого участника становится клиринговая палата биржи. Вставая между реальными покупателем и продавцом, палата устраняет для каждого участника сделки риск, идущий от другой стороны. При этом если участник контракта желает осуществить или принять поставку, то он не ликвидирует свою позицию до дня поставки и информирует палату о готовности выполнить свои контрактные обязательства. В этом случае биржа выбирает лицо с противоположной позицией, которая не была закрыта, и сообщает ему о необходимости поставить или принять требуемый актив.

Заключение фьючерсного контракта не требует от инвестора каких-либо расходов, кроме комиссионных. Однако со стороны фьючерсной биржи предъявляется требование о размещении на счетах участников торгов залога достаточного размера. Сумма, вносимая инвестором при открытии позиции, называется начальной маржой, а счет, на который вносится залог, называется маржевым счетом. Очевидно, что величина маржи за контракт должна быть не меньше максимально возможных потерь, которые могут возникнуть при удержании данной позиции. По правилам торговли на фьючерсной бирже сумма денег на маржевом счете клиента никогда не должна опускаться ниже некоторого заданного уровня, называемого гарантийной маржой. Размер ее устанавливается клиринговой палатой в зависимости от максимальных дневных отклонений цены активов, по которым открыты позиции клиента.

Суть системы клиринга состоит в том, что ежедневно по окончании торгов на бирже происходит коррекция размера средств на маржевом счету каждого участника в зависимости от изменения цен рынка. Происходит это следующим образом.

Как и для форвардных контрактов, цена поставки последнего заключенного фьючерсного контракта определяет фьючерсную цену актива на момент исполнения контракта. Если фьючерсная цена возрастает, то покупатель контракта получает прибыль, а продавец несет убытки. Если цена снижается, происходит наоборот. Для форвардного контракта прибыли или убытки реализуются сторонами в момент исполнения контракта. По фьючерсным сделкам клиринговая палата в конце каждого торгового дня производит перерасчет позиций инвесторов. Сам перерасчет происходит путем перевода суммы выигрыша со счета проигравшей на счет выигравшей стороны. Обозначим - фьючерсную цену в конце вчерашнего дня, а - в конце сегодняшнего. Если , то сумма переводится со счета продавца на счет покупателя. И наоборот, если , то сумма будет переведена на счет продавца со счета покупателя. Сумма перечисляемая в конце дня называется вариационной маржой.

Таким образом, по итогам каждого дня все участники торгов получают прибыль или несут убытки. Если на маржевом счете инвестора накапливается сумма, которая больше гарантийной маржи, то излишек можно снять со счета. Если же залог на маржевом счете становится ниже установленного минимума, то брокер доводит до инвестора требование о дополнительном взносе. Если инвестор не отреагирует немедленно, то брокер ликвидирует его позицию путем заключения оффсетной сделки. При этом инвестор несет убытки и может расчитывать только на остаток залога.

 

Пример 7.1.В конце начального дня был заключен контракт на поставку некоторого актива по фьючерсной цене 1500 рублей. Обе стороны внесли на маржевые счета начальную маржу 100 рублей. Гарантийная маржа установленная клиринговой палатой – 70 рублей. В результате торгов первого дня фьючерсная цена увеличилась до 1520 рублей. Если эта цена будет в момент исполнения контракта, то покупатель получит прибыль 20 рублей. Поэтому со счета продавца клиринговая палата переводит ему эти 20 рублей. На второй день фьючерсная цена выросла еще на 30 рублей и стала равной 1550 рублей. Соответственно, с маржевого счета продавца перевели покупателю 30 рублей. На маржевом счете продавца оказалась сумма 50 рублей, что ниже гарантийной маржи на 20 рублей. Продавец пополнил маржевой счет на эти 20 рублей. На третий день фьючерсная цена упала до отметки 1480 рублей. 70 рублей будет переведено со счета покупателя на счет продавца. Допустим, что в конце третьего дня инвесторы закрыли свои позиции с помощью оффсетных сделок. В итоге за три дня покупатель проиграл, а продавец выиграл 20 рублей. Методика осуществления клиринга приведена в таблице. Дни Открытие позиции (день 0)       Фьючерсная цена         Гарантийная маржа   - - - Позиция покупателя: маржевой счет переменная маржа накопленный выигрыш/проигрыш   - -       - 70 - 20 Позиция продавца: маржевой счет переменная маржа накопленный выигрыш/проигрыш   - -   - 20 -20   - 30 - 50   Заметим, что цена контракта за третий день изменилась на 4,5%, но при этом доходность короткой позиции 100%, а убыток длинной 46,6%. Это подтверждает высокий риск инвестиций во фьючерсные контракты.

Так как клиринговая палата ежедневно корректирует позиции сторон, это сводит к минимуму риск невыполнения обязательств по контракту. Кроме того, независимо от цены поставки, рыночная цена фьючерсного контракта на начало каждого дня торгов равна нулю. Инвестору нет необходимости оценивать текущую стоимость фьючерсного контракта. Эти особенности делают фьючерсный контракт более предпочтительным, чем форвардный контракт.

Вся информация о фьючерсном рынке заложена в фьючерсных ценах, к прогнозированию которых сводится задача инвестора. По определению, фьючерсная цена – это цена поставки последнего заключенного фьючерсного контракта. Она отражает ожидания инвесторов в отношении будущей рыночной цены соответствующего актива на момент поставки по контракту. Цену при условии немедленной поставки единицы актива принято называть ценой спот. Таким образом, фьючерсный рынок дает информацию о будущих ценах на спотовом рынке финансов.

При открытии позиции на фьючерсном рынке фьючерсная цена может быть выше или ниже цены спот для данного актива. Если фьючерсная цена выше цены спот, что принесло обладателю короткой позиции по данному активу прибыль, то про такой фьючерс говорят, что он с премией. Если же фьючерсная цена ниже цены спот актива, то такой фьючерс с дисконтом. Оба случая представлены на рис. 7.1.

ожидаемая цена спот

дата заключения дата время контракта поставки Рис. 7.1

контанго

бэкуордейшн

Приведенный пример показал возможность получения на фьючерсном рынке больших прибылей при незначительном размере инвестиций. Такие возможности привлекают не только хеджеров, интересующихся снижением рисков своих инвестиционных проектов, но и биржевых спекулянтов, открывающих позиции на фьючерсном рынке с целью игры на разнице цен. Спекулянты осуществляют свои сделки, руководствуясь своими прогнозами относительно будущего уровня спотовых цен на активы, и требуют некоторого вознаграждения за те риски, которые они берут на себя. В связи с этим возникает ситуация, когда информация об открытых позициях на фьючерсном рынке говорит о будущей динамике цены спот каждого финансового актива. Если большая часть спекулянтов открыли длинную позицию по контракту, то это говорит о том, что фьючерсная цена должна быть ниже будущей цены спот, поскольку именно повышение фьючерсной цены в будущем принесет прибыль спекулянту. Если же большая часть спекулянтов открыла короткую позицию, то это свидетельствует о том, что фьючерсная цена выше будущей цены спот актива, иначе короткая позиция не принесет прибыли ее обладателям.

Остановимся теперь на вопросе формирования фьючерсной цены. Принято полагать, что в целом она должна совпадать с соответствующей форвардной ценой. Однако на практике имеются отличия, причем фьючерсная цена превышает форвардную. Отличия в ценах вызваны различными факторами, такими как: налоговые ставки, комиссионные, ликвидность контрактов, гарантийные платежи, которые не учтены в модели определения форвардной цены. Если же форвардный и фьючерсный контракты имеют одинаковую дату поставки актива, а ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени, то форвардная и фьючерсная цены должны быть равны. Следовательно, для определения фьючерсной цены мы можем воспользоваться формулой (5.10).

Ситуация существенно усложняется, если процентные ставки на рынке изменяются и их нельзя точно предсказать.

Допустим, что цена актива имеет положительную корреляцию с процентной ставкой. В такой ситуации при прочих равных условиях приобретение фьючерсного контракта более желательно. При повышении цены актива инвестор получает приыль по фьючерсному контракту, которую может реинвестировать под более высокий процент. При понижении цены актива он несет потери, которые рефинансируются уже по более высокой процентной ставке. Форвардная сделка лишена таких преимуществ, поскольку все взаиморасчеты между контрагентами осуществляются только по истечении срока контракта. Следовательно, для такой ситуации фьючерсная цена должна превышать форвардную.

Если же наоборот, цена актива имеет отрицательную корреляцию с процентной ставкой, то наблюдается обратная картина. При получении инвестором прибыли он может реинвестировать ее под более низкий процент. При потерях он будет рефинансировать свою позицию по более низкой процентной ставке. Поэтому в данном случае форвардная цена должна быть выше фьючерсной.

 

Опционы

Любой контракт, по которому одна из сторон получает право покупать или продавать что-либо по заранее определенной цене, называется опционом. Опционный контракт является двусторонней сделкой, по которой его покупатель получает право покупать или продавать определенные активы в будущем по заранее оговоренной цене, а продавец опциона обязан исполнить право покупателя, если тот захочет это сделать. Опционы существенно отличаются от форвардных и фьючерсных контрактов, так как в них обе стороны обязаны исполнить контракт.

Торговля опционами подобна работе фьючерсной биржи. Опционная биржа сводит покупателей и продавцов опционов и гарантирует оплату в случае невыполнения любой из сторон взятых на себя обязательств.

Опцион характеризуется сроком погашения или временем исполнения и ценой исполнения Опционы делят на два класса: колл-опционы и пут-опционы. Колл-опцион дает его покупателю (владельцу) право купить заданный актив по цене исполнения, а пут-опцион – право продать заданный актив по цене исполнения. Таким образом, покупатель опциона получает право (но не обязанность) исполнить сделку по контракту в некоторый момент в будушем. Если выполнение этой сделки будет невыгодным для покупателя, то он воспользуется правом не исполнять ее. Владелец колл-опциона во время его исполнения может купить актив по цене исполнения , а продавец колл-опциона обязан продать актив по цене . Аналогично, при исполнении пут-опциона его покупатель продает заданный актив по цене а продавец пут-опциона обязан купить его по этой цене.

Если опцион предъявляется к исполнению только в момент его погашения то он называется европейским. Если же опцион может быть предъявлен к исполнению в любой момент времени до наступления срока погашения , то он называется американским.

Опционы – это финансовые инструменты, позволяющие застраховать имеющиеся активы от риска изменения их цены. Допустим, инвестор приобрел акцию некоторой фирмы с целью продать ее по более высокой цене в будущем. Так как он не уверен в прогнозе повышения цены акции через определенное время, он хотел бы застраховать длинную инвестицию от падения расчетной цены на акцию. Для этого он приобретает пут-опцион на данную акцию, позволяющий ему продать акцию в будущем по приемлемой для него цене. Если цена на акцию возрастет и станет больше, чем цена исполнения купленного пут-опциона, то инвестор продает акцию по рыночной цене. При этом пут-опцион не будет исполнен. Если же цена не возрастет должным образом, или даже упадет, то есть будет ниже цены исполнения пут-опциона, то инвестор исполнит пут-опцион и продаст акцию по цене исполнения. В этом случае он избежит значительных убытков. Заметим, что открытие короткой позиции по фьючерсному контракту на акцию тоже устранило бы риск убытков, но сделало бы невозможным получение дополнительной прибыли в случае резкого повышения цены акции. Таким образом, покупатель опциона, приобретая право исполнения сделки, обязан выплатить компенсацию продавцу опциона за возможные убытки в будущем. Эта компенсация определяет цену опциона.

Рассмотрим задачу определения цены европейского колл-опциона на акцию. Пусть срок погашения через один период (), цена исполнения, Предположим, что в момент исполнения цена на акцию равна . Действия держателя колл-опциона следующие. Если цена меньше , то не следует исполнять опцион, поскольку убыток составит . Если же цена будет больше , то колл-опцион выгодно исполнить. В этом случае акция приобретается по цене , а можно продать ее по цене , получая прибыль При этом на эту сумму понесет убытки продавец колл-опциона. Таким образом, если разность отрицательна, или равна нулю, то опцион не исполняется, то есть платеж от опциона равен нулю, а если разность положительна, то колл-опцион будет исполнен, и в этом случае компенсация за убытки должна составить . Доход владельца колл-опциона на дату погашения будет равен (рис. 7.2)

 

0 0 Рис. 7.2. Доход от колл-опциона Рис. 7.3. Доход от пут-опциона

Аналогично, доход владельца пут-опциона на время его исполнения составит (рис. 7.3)

.

Для оценки колл-опциона воспользуемся биномиальной моделью эволюции цен акции, рассмотренной в п. 6.5. Биномиальная модель предполагает, что в любом периоде цена акции может возрасти с коэффициентом или уменьшится с коэффициентом Тогда, если текущая цена акции, то и высокая и низкая цены акции, соответственно.

Обозначим: цена колл-опциона, которую надо определить; коэффициент увеличения инвестиций в безрисковый актив. Доход от колл-опциона в зависимости от изменения цены акции будет равен:

(7.1)

Существует несколько способов определения рациональной цены опциона Рассмотрим один из них.

Метод эквивалентного портфеля. Определим цену опциона, используя акции и безрисковые активы для воспроизведения платежей, порождаемых опционом. Пусть мы покупаем акций и инвестируем в безрисковый актив денежную сумму в размере Выберем и так, чтобы будущие платежи по данному портфелю совпадали с платежами опциона:

(7.2)

Решая систему этих уравнений, находим и :

(7.3)

Если мы выбираем и в соответствии с этими уравнениями, то наш портфель из акций и безрисковых активов порождает те же самые платежи, что и колл-опцион. Но тогда цена колл-опциона должна равняться цене эквивалентного портфеля.

(7.4)

Из полученных соотношений можно найти нейтральные к риску вероятности биномиальной модели изменения цены акции (п. 6.5). Подставим значения и (7.3) в формулу (7.4).

 

где

(7.5)

Цена колл-опциона есть средняя будущая цена опциона, дисконтированная на безрисковый процент:

. (7.6)

 

Пример 7.2.Текущая цена акции 1500 рублей. К концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену однопериодного европейского колл-опциона на одну акцию, если цена его исполнения равна 1600 рублей, а безрисковая процентная ставка составляет 10%. Итак, по условию задачи: Найдем: Тогда из (7.1) Из (7.3) находим Текущая цена опциона (7.4) руб. Изменения цен на акцию и опцион представлены на рис. 7.4. Рисковый актив Опцион   p p       1-p 1-p   Рис. 7.4.   Нейтральные к риску вероятности равны (7.5).

 

Теперь вычислим текущую стоимость европейского однопериодного пут-опциона.

Введем обозначения.

искомая цена пут-опциона с ценой исполнения

доходы от пут-опциона в зависимости от движения цены акции вверх и вниз соответственно.

(7.7)

Пусть, как и для колл-опциона, мы пытаемся создать портфель из акций и безрисковых активов, порождающих те же платежи, что и пут-опцион. Полагая

(7.8)

получим (7.9)

Так как заданный портфель повторяет пут-опцион, их текущие стоимости совпадают.

(7.10)

 

Пример 7.3.Пусть, как и в примере 7.2, текущая цена акции 1500 рублей. К концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену однопериодного европейского пут-опциона на одну акцию, если цена исполнения 1600 рублей, а безрисковая ставка 10%. Дано: Найдем Из (7.7) , . Из (7.9) находим Стоимость пут-опциона (7.10) равна

Имеет место “пут-колл” взаимосвязь европейских опционов с одинаковой ценой исполнения

(7.11)

Суть этой формулы состоит в том, что портфель инвестиций, состоящий из акции, пут-опциона и короткой позиции по колл-опциону, эквивалентен безрисковой инвестиции. Действительно, пусть мы имеем акцию, однопериодный пут-опцион на эту акцию с ценой исполнения и мы продали колл-опцион с той же ценой исполнения. Теперь если цена акции , то пут-опцион не исполняется, но в исполнение колл-опциона мы обязаны продать имеющуюся у нас акцию по цене Если же цена акции то не исполняется колл-опцион, но у нас есть возможность исполнить пут-опцион и продать акцию по цене В итоге получаем, что как бы себя не вела цена акции в конце периода у нас будет одна и та же сумма Значит, созданный портфель эквивалентен безрисковой инвестиции и может быть оценен с помощью дисконтирования цены исполнения опционов

Пример 7.4.Воспользуемся данными примеров 7.2 и 7.3. Цена акции рублей, цена колл-опциона рублей, цена пут-опциона рублей, цена исполнения рублей, коэффициент роста для безрискового актива То есть покупка акции, пут-опциона и продажа колл-опциона эквивалентны размещению разности их цен рублей в безрисковый актив с доходностью 10%.