Наращение по сложной процентной ставке

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях обычно процентыприсоединяются к сумме долга, а для наращения применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называется капитализацией процентов.

Запишем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны , а наращенная сумма составит . К концу второго года она достигает величины и т.д.

В конце n-го года она будет

(1.8)

Проценты за этот же период равны

(1.9)

Проценты за каждый последовательный год увеличиваются. Для некоторого промежуточного года t они равны:

(1.10)

0 n t Рис. 1.2

I

S

S

P

Графическая иллюстрация роста по сложным процентам на рис. 1.2. Величину называют множителем наращения по сложным процентам.

Пример 1.7.Какой величины достигнет долг, равный 1000 рублей, через 4 года при росте по сложной ставке 15% годовых? руб.

Формула (1.8) получена для годовой процентной ставки и срока в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях - ставка за период начисления, - число таких периодов.

Переменные ставки. Еслизначения переменных ставок фиксируются в контракте, получаем

,

где - последовательные во времени значения ставок;

- соответствующие этим ставкам периоды.

 

Пример 1.8.Срок ссуды - 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых в первые два года и 15% - в оставшиеся. Множитель наращения в этом случае = (1 + 0,12)^2(1 + 0,15)^3= 1,9078

Срок ссуды. Задача может формулироваться так: известна начальная сумма и наращенная сумма , необходимо найти срок ссуды . Из формулы (1.8) найдем:

 

Пример 1.9.Какой срокпотребуется, чтобы долг, равный 1000 рублей, стал равен 5000 рублей при росте по сложной ставке 15% годовых?

Дробное число n. Если срок ссуды не равен целому числу, применяют два способа расчета процентов:

· В формулу (1.8) подставляют дробное число n;

· Для целой части n используют сложные проценты, а для дробной части – простые проценты.

 

Пример 1.10.Какой величины достигнет долг, равный 1000 рублей, через 11,516 года при росте по сложной ставке 15% годовых? · 1-й способ руб. · 2-й способ руб.

Рост по сложным и простым процентам. Для сопоставления результатов наращения достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Для ставки простых процентов введем индекс . Получим следующие соотношения множителей наращения:

0 1 t Рис. 1.3

S

P

срок меньше года ;

срок равен году ;

срок больше года .

 

Графическая иллюстрация соотношения множителей наращения приведена на рис. 1.3.