ВВЕДЕНИЕ. Предмет и задачи статистики финансов

ФИНАНСОВАЯ СТАТИСТИКА

 

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ

 

 

Направление подготовки: 080105.65 «Финансы и кредит»

Форма обучения: очная

 

 

 

Королев, 2012

 

Цветков Н.Д. Финансовая статистика: Тексты лекций. – Королев МО: КИУЭС, 2012 – с.

 

 

Тексты лекций содержат: введение, Раздел 1 – Финансовые вычисления; Раздел 2 – Основные задачи статистики финансов. Также приведен список необходимой литературы.

 

Рецензент:

 

РЕКОМЕНДОВАНО Тексты лекций

Учебно-методическим рассмотрены и одобрены на заседании

советом КИУЭС кафедры бухгалтерского учета и

Протокол №____ аудита.

от «____»_________ 2012 г. Протокол № 05

от «25» января 2012 г.

 

Зав. кафедрой бухгалтерского учета и аудита

 

____________ Коба Е.Е.

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. Предмет и задачи статистики финансов
Раздел 1. Финансовые вычисления …………..…………………
Глава 1. Проценты……………….…………………………………
1.1. Виды процентных ставок………………..……………………….
1.2. Наращение по простой процентной ставке…………….………
1.3. Дисконтирование по простым процентным ставкам и учет…
1.4. Наращение по сложной процентной ставке………………..…
1.5. Наращение процентов m раз в году……………………………...
1.6. Дисконтирование по сложной процентной ставке и учет…...
Глава 2. Типовые задачи………………………………………………
2.1. Погашение задолженности частями…………………………….
2.2. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
2.3. Конверсия валюты и наращение процентов.…………………
2.4. Инфляция……………….……………………………….………
2.5. Конверсия платежей……………………………………………
Глава 3. Потоки платежей……………………………………………
3.1. Виды потоков платежей и их основные параметры…………...
3.2. Нерегулярные потоки платежей……………………………...
3.3. Запаздывающие ренты…………………………………………
3.4. Другие виды рент………………………………………………
Глава 4. Страхование……………..……………………………………
4.1. Финансовые ренты в страховании…………………………….
4.2. Вероятности дожития…………………………………………
4.3. Страхование жизни……………………………………………..
4.4. Пенсионное страхование……………………………………….
4.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий…………….
Глава 5. Облигации……………………………………………………
5.1. Основные понятия………………………………………………
5.2. Цена и доходность облигации…………………………………
5.3. Временная структура процентных ставок…………………….
5.4. Риск портфеля облигаций………………………………………..
5.5. Форвардные контракты…………………………………………
Глава 6. Акции…………………………………………………………
6.1. Основные понятия………………………………………………
6.2. Портфель инвестиций………………………………………….
6.3. Модель оптимизации портфеля………………………………...
6.4. Задача Марковица……………………………………………….
6.5. Формирование портфеля инвестиций на основе экспертной информации………………………………………………………
Глава 7. Фьючерсы и опционы………………………………………..
7.1. Фьючерсы………………………………………………………..
7.2. Опционы…………………………………………………………..
Литература…………………………………………………………….….

 

 

ФИНАНСОВАЯ Статистика

Раздел 1. финансовые вычисления

участники любой финансовой операции должны согласовать ряд условий: сумму кредита (займа, инвестиций), сроки погашения долга, порядок начисления процентов и т.д. Для этого применяется финансовый анализ, который позволяет решать задачи:

1) измерение финансовых результатов операции;

2) выявление зависимости результатов от основных параметров операции, определение их взаимосвязи и допустимых значений;

3) разработка планов выполнения операций;

4) определение параметров эквивалентного изменения условий сделки.

В финансовых операциях суммы денег связываются с конкретными моментами или периодами времени. Необходимость этого выражается в принципе не равноценности денег, относящихся к разным моментам времени.

Имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход, в свою очередь, может быть реинвестирован и т.д.Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции.

Поэтому в финансовом анализе нельзя суммировать денежные величины, относящиеся к разным моментам времени. Однако такое суммирование вполне допустимо там, где фактор времени не имеет принципиального значения. Например, в бухгалтерском учете для получения итогов по периодам.

 

Глава 1. проценты

Виды процентных ставок

Под процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя и т.д.

При заключении соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки, под которой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления (год, полугодие, квартал, месяц или день).

Проценты или выплачиваются по мере их начисления, или присоединяются к основной сумме долга. Процесс такого увеличения суммы денег называют наращением.

Проценты различаются по базе их начисления, которая может быть постоянной или переменной. Во втором случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при переменной - сложные процентные ставки.

Существует два принципа расчета процентов: наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют ставки наращения и учетные ставки.

Глава 2. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Инфляция

В рассмотренных нами методах наращения не учитывалось снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый финансовой операцией. Однако инфляция может играть заметную роль.

Рост цен за некоторый период измеряется с помощью индекса цен . Пусть - наращенная сумма денег. С учетом инфляции она составит:

= . (2.6)

Свяжем индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции понимают относительный прирост цен за период. Обозначим его , и будем измерять в процентах (в формулы будем подставлять в виде десятичной дроби).

. (2.7)

В свою очередь

. (2.8)

Например, если темп инфляции равен 130%, то цены за этот период выросли в 2,3 раза.

Среднегодовой темп роста цен находится на основе как

, (2.9)

Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде повышаются на процентов относительно уровня предыдущего периода), то индекс цен за несколько таких периодов равен:

= (2.10)

Если - постоянный темп инфляции за период, то за таких периодов получим

. (2.11)

 

Пример 2.6.Постоянный темп инфляции на уровне 5% в месяц за год приведет к росту цен в размере = 1,05^12 = 1,796 т.о. годовой темп инфляции = 1,796 - 1 = 0,796 или 79,6%, а не 60%.

Пример 2.7.Последовательный прирост цен по месяцам составил 5, 10 и 8%. Индекс цен за три месяца (2.10) равен = 1,05x1,1x1,08 = 1,25. Темп инфляции за три месяца составил 25%.

 

Если наращение производится по простой ставке:

(2.12)

увеличение наращенной суммы, с учетом сохранения покупательной способности денег, имеет место если .

 

Пример 2.8.Допустим, на сумму 1,5 млн руб. в течение 3 месяцев начисляются простые проценты по ставке 30% годовых (К = 360). Наращенная сумма равна 1,6125 млн.руб. Если ежемесячная инфляция характеризуется темпами из примера 2.7, то наращенная сумма с учетом инфляции составит 1,6125/1,25 = 1,29 млн.руб.

 

Пусть наращение производится по сложным процентам. Тогда

(2.13)

Определим при какой процентной ставке наращение будет только компенсировать инфляцию? В случае простых процентов множитель наращения с учетом инфляции из (2.12) должен быть равен 1. Отсюда минимально допустимая ставка:

(2.14)

Аналогично из (2.13) для сложных процентов

(2.15)

Ставку, превышающую , называют положительной процентной ставкой.

Пример 2.9.По данным примера 2.7 найдем минимально допустимую величину ставки. = 1,25 за три месяца. или 100 % годовых.

Конверсия платежей

Общая постановка задачи. Иногда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Принцип изменения контракта - финансовая эквивалентность обязательств.

Две суммы денег и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена на в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

 

Пример 2.10.Имеются два обязательства. Первое - выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; второе - выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Т.к. платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку равную, допустим, 20%. тыс. руб.; тыс. руб. Т.о. сравниваемые обязательства не являются эквивалентными.

 

Общий метод решения заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных - с помощью сложных ставок.

Если приведение платежей осуществляется на начальную дату, то получим:

для простых процентов ;

для сложных процентов .

Здесь и - параметры заменяемых платежей, и - параметры заменяющих платежей.

Конкретный вид уравнения определяется содержанием контрактов, поэтому методику их разработки рассмотрим на примерах.

Пример 2.11.Две суммы - 10 и 5 млн. руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января (следующего года). Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачивает 6 млн. руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов 20% (К = 365). Условия задачи приведены на рис. 2.4. базовая дата - момент выплаты 5 млн. руб. Тогда Отсюда находим млн.руб.

 

10 6 5 -? 30 100 -?

 

 

 

1.11 1.12 1.01 1.03 0 2 5 6

Рис.2.4 Рис.2.5

Пример 2.12.Имеется обязательство уплатить 10 млн. руб. через 4 месяца и 7 млн. руб. через 8 месяцев. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Используется простая ставка 10% (К = 360). За базовую дату примем начало отсчета времени. Отсюда млн. руб.

 

Пример 2.13.Существует обязательство уплатить 100 млн. руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга: через 2 года выплачивается 30 млн. руб., а оставшийся долг спустя 6 лет (рис. 2.5). Уравнение эквивалентности составим на конец шестого года. Используем сложную процентную ставку. Пусть ставка равна 10% годовых. млн. руб.

Консолидирование задолженности. Часто изменение условия заключается в консолидации (объединении) платежей. Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме и сроком . Возможны две постановки задачи:

1) задан срок , найти сумму ;

2) задана сумма , определить срок .

Определение суммы консолидированного платежа. В общем случае, когда , причем находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

Для простых процентных ставок

(2.16)

где - размеры объединенных платежей со сроками ;

- размеры платежей со сроками ;

.

Пример 2.14.Два платежа - 1 и 0.5 млн. руб. со сроками уплаты 150 и 180 дней - объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть согласована простая ставка 20% годовых. Консолидированная сумма долга млн.руб.

 

При консолидации платежей на основе сложных ставок вместо (2.16) получим формулу для общего случая

(2.17)

Пример 2.15.Платежи 1 и 2 млн. руб. со сроками уплаты 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. = 1x 1,2^0,5 + 2 x 1,2^-0,5 = 2,92119 млн. руб.

Определение срока консолидированного платежа. Задана величина консолидированного платежа , определить его срок . Уравнение эквивалентности представим в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки

, (2.18)

для сложных процентных ставок

. (2.19)

Из этих уравнений находят срок .

 

Пример 2.16.Суммы 10, 20, и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежем 50 млн. руб. с отсрочкой платежа. Современная стоимость заменяемых платежей при простой ставке и , составит: Из (3.3) находим или 507 дней. Пусть теперь размер заменяющего платежа 45 млн. руб. Тогда или 96 дней.

Глава 3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

Запаздывающие ренты

Пусть в течение лет в банк в конце каждого годавносится по рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке процентов годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются лет, на второй - и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Наращенные к концу срока суммы каждого взноса составят:

Если ряд переписать в обратном порядке, он будет представлять собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Число членов прогрессии равно . Тогда

(3.5)

(3.6)

- коэффициент наращения ренты продолжительностью , с процентной ставкой . Следовательно,

(3.7)

Для определения современной стоимости ренты воспользуемся зависимостью (3.3).

(3.8)

где - коэффициент приведения ренты.

(3.9)

 

Пример 3.3.Для обеспечения будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной запаздывающей годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Величину фонда на конец срока определяем по (3.5): = 4 = 28,9 млн. руб. Современную стоимость этой ренты найдем по (3.8) получим: = 4 = 12,368 млн.руб. Т.о., все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение пяти лет.

Аналогичным образом получают формулы для других видов рент (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Формулы для расчета наращенной суммы S и современной

стоимости A постоянных запаздывающих рент

Количество платежей в году	Количество начислений % в году	Наращенная сумма S	Современная стоимость A
	m = 1
р = 1	m > 1
	m = 1
p > 1	m = p
	m p

Определение члена ренты. Исходные условия: задается или и набор параметров, кроме . Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, с ежегодным начислением процентов, то по формуле (3.7) получим:

(3.10)

Пусть теперь известна современная стоимость ренты. Тогда из (3.8) следует:

(3.11)

Пример 3.4.Определим размеры периодических взносов при решении двух следующих задач: а) создать целевой фонд (например, для погашения задолженности или обеспечения инвестиций) в сумме 100 млн. руб.; б) погасить в рассрочку текущую задолженность в сумме 100 млн. руб. Срок в обоих случаях 5 лет, процентная ставка 20%, платежи ежегодные в конце года. а) = 100, = 13,438 млн.руб. б) = 100, = 33,438 млн.руб.

Расчет срока ренты. Из выражений для определения и найдем . Так для годовой ренты с ежегодным начислением процентов находим из (3.5):

(3.12)

Пример 3.5.Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежегодно вносится по 10 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых? По формуле (3.12) находим: года. Если срок округляется до 6 лет, то необходимо несколько увеличить размер члена ренты для . В этом случае ежегодный взнос из (3.10) должен составить: млн.руб.

Аналогично получают формулы для расчета срока и для других видов рент (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Другие виды рент

Упреждающие ренты. Это рента с платежами в начале периодов. На каждый член упреждающей ренты проценты начисляются на один период больше, чем в запаздывающей ренте. Следовательно, наращенная сумма годовой упреждающей ренты больше в раз аналогичной суммы запаздывающей ренты.

(3.13)

Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями упреждающей и запаздывающей рент:

; (3.14)

Пример 3.6.Воспользуемся данными примера 3.4 (вариант а). Пусть теперь фонд создается на основе упреждающих взносов. Имеем: =100, n=5, =20%. Найдем = = 100/1,2 = 83,3(3), = 7,4416, cледовательно, = 11,198 млн.руб. Для запаздывающей ренты из пр. 3.4 было получено = 13,438 млн.руб.

Ренты с выплатами в середине периодов. Например, в случае, когда поступления от производственных инвестиций распределяются равномерно, применение упреждающих или запаздывающих рент для описания таких потоков может привести к ошибкам в значении показателей. Для уменьшения погрешностей суммы поступлений относят к серединам периодов. Наращенные суммы и современные стоимости таких рент находят умножением соответствующих характеристик запаздывающих рент на множитель наращения за половину периода. Так, для современной стоимости находим следующее соотношение:

. (3.15)

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто относительно некоторого момента времени. Сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы, но влияет на современную стоимость ренты. Пусть рента выплачивается спустя лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость немедленной ренты равна . Современная стоимость на начало периода отсрочки равна дисконтированной величине . Для годовой ренты:

(3.16)

Пример 3.7.Пусть в примере 3.3 рента выплачивается не сразу, а спустя 1,5 года после момента оценки. Современная стоимость отложенной ренты составит: = 9,588 млн. руб.

Вечная рента. Вечная рента - это ряд платежей, количество которых не ограничено. Такие ренты используются, например, при определении способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам перед участниками.

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине. Современная стоимость будет равна

(3.17) cледовательно: (3.18)

Пример 3.8.Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 12 тысяч руб, выплачиваемых в конце каждого года. Современная стоимость такой ренты при ставке 10 % годовых составит: тыс.руб.

Глава 4. СТРАХОВАНИЕ

Вероятности дожития

Значения вероятностей дожития до определенного возраста или смерти в каком-то возрасте получают на основе таблицы смертности, которая является числовой моделью процесса вымирания.

Пример такой таблицы приведен ниже (табл. 4.1).

 

Обозначения:

- количество людей, доживших до лет из первоначальной совокупности 100 тысяч человек;

- число умерших в течение года после возраста лет;

- вероятность умереть в течение года после возраста лет.

Таблица 4.1

... ... ...	94 774 94 588 94 383 ... 87 779 87 157 ... 65 130 ... 43 405	... ... ...	0.00196 0.00216 0.00249 ... 0.00708 0.00770 ... 0.02871 ... 0.05691

 

Показатели смертности связаны соотношениями:

;

Вероятность прожить не менее года лицу в возрасте лет равна:

(4.1)

Вероятность дожить от возраста до :

(4.2)

Пример 4.1.Вероятность сорокалетнего мужчины дожить до 60 лет

Вероятность умереть в течение года для лица в возрасте лет:

, (4.3)

а в возрасте от до :

. (4.4)

 

Страхование жизни

Страхование на дожитие. Человек в возрасте лет договаривается со страховой организацией о том, что при достижении им, например, 60 лет он получит рублей. Математическое ожидание современной стоимости страховки:

(4.5)

где - вероятность лицу в возрасте лет дожить до 60 лет,

- дисконтный множитель по ставке .

В общем виде:

(4.6)

 

Пример 4.2.Найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если процентная ставка 10%, то по (5.6) получим Премия составляет 11,03 % страховой суммы.

 

Предположим, что число застрахованных на дожитие 1000 человек, страховая сумма 1 млн. руб.

Число застрахованных 1000

Премия от одного застрахованного 110 300 руб.

Общая сумма премии 110 300 тыс. руб.

Сумма с процентами за 20 лет 742 000 тыс. руб.

Количество доживших до 60 лет 742 (741,977)

Общая сумма выплат 742 000 тыс. руб.

Этот пример иллюстрирует принцип солидарной ответственности страхователей. Страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет не доживших страхователей. Если бы страховую сумму (1 млн. руб.) он обеспечивал самостоятельно (без солидарной ответственности), то ему потребовалось бы внести не 110 300 руб., а руб.

Страхование жизни. Страховая сумма выплачивается в случае смерти застрахованного. Пусть страховой договор заключается в возрасте лет. Если застрахованный умрет на первом году страхования, то современная величина выплаты составит , если на втором году - и т.д.

Современная стоимость страховой ренты:

, (4.7)

где - дисконтный множитель по ставке ;

- предельный возраст, учитываемый в расчете.

 

Пенсионное страхование

Пожизненные ренты. Рассмотрим простейший вид пенсионной ренты: выплаты немедленные, пожизненные, в конце каждого года. Стоимость такой ренты для лица в возрасте лет при ежегодной выплате руб. составит:

. (4.8)

Пенсии обычно выплачиваются в виде упреждающих рент. Современная стоимость такой пенсионной ренты для лица в возрасте лет составит:

(4.9)

Чем выше процентная ставка, тем ниже тариф страхования и оно более привлекательно для клиента. Однако при этом повышается риск для страховщика - необходимо обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

Рассрочка взносов. Премии часто выплачиваются в виде ряда последовательных платежей, в рассрочку. Для описания взносов используют ограниченные ренты, а пенсии описываются страховыми рентами. Их стоимости должны быть равны. Например, если премии описываются немедленной, ограниченной рентой, а пенсии - пожизненной отсроченной рентой и предусматриваются ежегодные платежи в конце года:

, (4.10)

где - годовая сумма взносов;

- коэффициент наращения рентыпродолжительностью , с процентной ставкой ;

- стоимость пенсионной ренты для лица в возрасте лет при ежегодной выплате руб., определяемая по (4.8).

 

Пример 4.3.Пусть пенсионные выплаты должны быть 1000 руб. в конце каждого года. Если тогда стоимость пенсионной ренты для лица в возрасте 60 лет будет равна (4.8): руб. Эта сумма выплачивается в конце каждого года в рассрочку в течение 20 лет. руб.

 

Глава 5.ОБЛИГАЦИИ

Основные понятия

Важной частью финансовых активов являются долговые контракты. Наиболее удобные среди них облигации – ценные бумаги с фиксированным уровнем дохода, которые обеспечивают инвестору получение заранее установленной суммы при каждом погашении их эмитентом.

Допустим некой корпорации необходимо занять большую сумму денег. Ее можно получить от большого числа инвесторов. Для удобства обращения с ними корпорация заранее печатает большое количество долговых контрактов-облигаций. Каждый контракт имеет информацию о сумме займа, дате его возмещения, норме процента и датах, когда эти процентные платежи будут производиться. Кроме того, указываются гарантии по возмещению займа. После этого корпорация осуществляет эмиссию, то есть размещение облигаций на рынке ценных бумаг.

Хотя облигации не являются полностью безрисковыми финансовыми инструментами, их привлекательность (особенно для консервативных инвесторов) состоит в том, что по ним регулярно выплачиваются проценты и гарантирована полная выплата ссудного капитала в установленное время, в то время как доходность по другим финансовым инструментам, например по акциям, трудно прогнозируема.