Шкала измерений нечисловых показателей

Для многих показателей, оценивая степень их проявления у различных объектов, можно получить сведения только сравнительного характера: Q _a Q _b, отражающие тот факт, что показатель Q у объекта a выражен «сильнее», чем у объекта b (или: объект a «более предпочтителен» или «лучше» по показателю Q, чем объект b), при этом какая-либо числовая мера степени проявления показателя Q отсутствует. Этот факт имеет место, например, для таких показателей, как «сорт продукции» (высший, первый и т.д.), для оценок, применяемых в некоторых видах спорта (фигурное катание, спортивная и художественная гимнастика, прыжки в воду, синхронное плавание и т. п.). Чаще всего такие показатели наблюдаются в социологии, экономике, психологии, а также при принятии управленческих решений, когда приходится сравнивать сложные объекты, характеризуемые целым комплексом отдельных показателей.

Отсутствие числовой меры для степени проявления показателя Q означает, что никакие арифметические операции для значений q (a), которые оценивают Q _a, не определены. Это указывает на то, что значения q (a) по своей сути не являются числами, хотя числа, очевидно, могут использоваться для их обозначения как цифровое имя. Между результатами (числовыми или нечисловыми) измерения таких показателей могут быть установлены соотношения одного единственного типа, а именно их упорядочение согласно условию

 

Q _a Q _b => q (a)> q (b). (14)

 

При этом важно, что если объект a более предпочтителен, чем объект b, то любые числовые значения q (a) и q (b) могут быть использованы в качестве «результата измерения», соответственно, Q _a и Q _b, если только выполнено условие (14). Так, например, традиционные степени проявления показателя «успеваемость учащихся»: «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично» в российской системе образования традиционно принято сопоставлять числовые значения, соответственно 2, 3, 4, 5 (правда, в некоторых странах минимальная оценка является лучшей). Однако очевидно, что свойство (14) будет также выполнено, если вместо этих чисел использовать, например, числа 1, 5, 10, 20, или: 0, 1, 10, 100, или любой другой, так же упорядоченный набор четырех чисел. В самом деле, никакой иных сведений, кроме тех, что, например, получивший «отлично» подготовлен лучше, чем получивший «удовлетворительно», эти значения в себе не несут. Вместе с тем, поскольку отношение порядка обладает свойством транзитивности

 

Q _a Q _b Q _c => q (a)> q (b) > q (c),

 

то получивший «хорошо» подготовлен лучше, чем получивший «удовлетворительно», но хуже, чем получивший «отлично». Однако нет смысла утверждать, что, например, получивший оценку «хорошо» знает ровно в 2 раза больше, чем двоечник, или что двоечник и троечник знают в сумме столько же, сколько отличник.

Таким образом, мы можем без потери информации заменять один набор значений q (a) другим с помощью любого преобразования φ(q), сохраняющего порядок. Это оправдывает название шкал данного типа: порядковые шкалы или ординальные шкалы. Соответственно, и сами показатели рассматриваемого типа также принято называть «порядковыми» или «ординальными».

Из сказанного выше следует, что множество допустимых преобразований Ф_п для шкал порядка представляет собой множество всех монотонно возрастающих функций:

 

Ф_п = { φ(q): q (a)> q (b) ↔ φ(q (a))> φ(q (b))}. (15)

 

Еще раз подчеркнем существенное отличие шкал порядка от рассмотренных ранее шкал: сами по себе возможные значения q(a), с помощью которых оцениваются эмпирически наблюдаемые степени проявления данного показателя, уже не обязательно должны являться числами. Типичным примером возможных результатов измерения в шкале порядка может служить следующее множество значений, которые встречаются в задачах выявления потребительских предпочтений, в социологических исследованиях и т.п.

 

«очень плохо»,

«плохо»,

«скорее плохо, чем хорошо»,

«безразлично», (16)

«скорее хорошо, чем плохо»,

«хорошо»,

«очень хорошо».

 

 

Пункты шкалы порядка принято называть градациями.

В свою очередь, числа, которые могут быть сопоставлены возможным степеням проявления ординального показателя, - суть не более, чем метки, или коды, которые удобны для сбора и хранения данных. Эти числа должны удовлетворять лишь условию (14) и могут быть без ущерба заменены другими числами с помощью преобразований из множества (15).

Следует подчеркнуть, что любая жесткая фиксация указанных числовых меток означает искусственное внесение в данные дополнительной информации, которая изначально в них не содержалась. Это хорошо видно из приведенного выше обсуждения примера с числами, кодирующими различные уровни качества успеваемости учащихся. Таким образом, фиксация числовых меток в подобных ситуациях может привести к искажению результатов последующей обработки данных.

 

Не менее часто, чем порядковые показатели, встречаются показатели, позволяющие лишь установить, что данные два объекта различимы с точки зрения данной характеристики, или, напротив, неразличимы.По таким характеристикам объекты могут быть рассортированы на ряд непересекающихся между собой классов, так что любые два объекта считаются неразличимыми, если они отнесены к одному и тому же классу, и различимыми, если они относятся к разным классам. Так, если множеством объектов является некий коллектив людей, в качестве примера такого рода характеристик можно привести: «пол», «профессия», «место рождения», «цвет волос» и т. п.

Важно отметить, что во всех приведенных и им аналогичных примерах рассматриваемые показатели не устанавливают никаких иных отношений между объектами, кроме как: различимы они по данной характеристике или нет.

Возможными «степенями проявления» Q _a, Q _b, … таких характеристик выступают имена соответствующих классов, к которым могут быть отнесены объекты. Процедура «измерения» тем самым сводится к идентификации имени того класса, к которому следует отнести тот или иной объект. Это имя может быть закодировано и числовым значением q (a), которое, очевидно, может быть любым, лишь бы выполнялось то условие, что различные имена классов кодируются различными числами.

Вполне очевидно, что допустимыми преобразованиями над числовыми характеристиками (метками) q (a) в данном случае будут являться любые взаимно-однозначные функции φ(q):

 

Ф_н = { φ(q): q (a) ≠ q (b) ↔ φ(q (a)) ≠ φ(q (b))}. (17)

 

Характеристики данного типа называют «номинальными» (поскольку с их помощью для объектов определяются имена соответствующих классов) или «классификационными» (т.к. множество объектов разбивают на классы, содержащие объекты с одинаковыми именами). Шкалу, которая соответствует номинальной характеристике, также принято называть номинальной шкалой(шкалой наименований, номинативной шкалой).

Следует упомянуть частный случай номинальной шкалы, имеющий только два пункта: «да» и «нет». Этот частный случай номинальной шкалы даже получил специальное название « Дихотомическая шкала». Так, например, при обработке анкетных данных по показателю «пол» классы «мужчина» и «женщина» могут кодироваться, соответственно, числовыми метками 0 и 1.

Множество Ф_н допустимых преобразований номинальной шкалы является максимально широким среди рассмотренных выше типов шкал. В самом деле, чем меньше отношений и операций определено для результатов измерений по данной шкале, тем шире ее множество допустимых преобразований. Так для номинальной шкалы бессмысленно складывать или делить числовые метки, используемые для кодирования имен соответствующих классов. Все, что имеет смысл с ними делать, это только сравнивать: одинаковы ли они у данных двух объектов или нет. Этим и объясняется максимальная широта множества Ф_н.

Основное и, пожалуй, единственное назначение шкалы наименований - это различать объекты. Например, фамилии людей, номера телефонов, название улиц и т.п. Это очень бедная шкала, но к ней можно прибегнуть при оценке любых факторов!

Вместе с тем и нормативные шкалы могут разделяться на подтипы, например, на категорированные и некатегорированные. Номинальная шкала называется категорированной, если множество всех возможных категорий задано эксперту заранее. Например, в вопросе заранее указаны все возможные варианты, и тот, который выбирает эксперт, ему предлагается подчеркнуть (пол: «муж.», «жен.»). В случае некатегорированной шкалы эксперт самостоятельно должен назвать имя категории, например: впишите рекомендуемую профессию.

В рамках номинальных шкал могут встретиться так называемые шкалы толерантности. Формально это означает, что при измерении во внимание берется не отношение эквивалентности, а отношение толерантности (похожести). Такая ситуация встречается в тех случаях, когда разрешающая способность эксперта оказывается ниже, чем различия, фактически наличествующие у измеряемых объектах. Так при оценке характеристики «цвет» эксперт использует только базовые (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый), в то время как налицо и такие значения, как светло-синий и темно-синий, бордовый, бирюзовый и т.д.

 

 

Сравнительный анализ шкал

Рассмотренные шкалы с позиции убывания мощности находятся в следующем соотношении

 

Ф _а Ì Ф_о Ì Ф_и Ì Ф_п Ì Ф_н (18)

 

Запись (18)означает, что класс допустимых преобразований одной шкалы может полностью включать в себя класс допустимых преобразований другой в том смысле, что возможные процедуры преобразований, которые приемлемы для более мощной шкалы (например, шкалы интервалов), допустимы и для менее мощной (например, шкалы порядка). В этом случае говорят, что вторая шкала сильнее (мощнее) первой. Самая мощная шкала – абсолютная шакала, а наименее мощная – номинальная. На Рис.4.4. представлена соответствующая иерархия рассмотренных выше шкал измерений.

То, в какой шкале производится измерение тех или иных характеристик, при экспертизе имеет принципиальное значение. Дело в том, что чем большими сведениями обладает эксперт и у него меньше сомнений в конкретной оценке характеристики, тем более мощную шкалу он выбирает. Использование же заведомо более слабой шкалы ведет к потере эффективности его работы. С другой стороны выбор шкалы зависит от того как поставлены вопросы к экспертам и как его понимают (интерпретируют) сами эксперты.

		Отношений
		Интервалов
		Разностей

 

 

Абсолютная

 

Рис. 4.4. Упорядочение шкал по убыванию их мощности

 

Пусть, например, рассматривается такая характеристика, «сорт изделия». Очевидно, что на множестве сортов для этого показателя определено отношение строгого порядка (одинаковых сортов не бывает), но на множестве изделий эта характеристика обладает отношением квазипорядка (два изделия могут обладать одинаковым сортом).

При анализе данных следует помнить о том, к какой шкале измерений относятся исследуемые величины. При этом: алгоритм анализа данных должен быть инвариантен относительно классу допустимых преобразований исследуемой величины, а алгоритм, применимый к более слабой шкале, применим и к более сильной [103].

В работе [104] даются следующие рекомендации по применимости тех или иных типов шкал:

• Шкала наименований или шкала классификации и спользуется для описания принадлежности объектов к определенным классам. Всем объектам одного и того же класса присваивается одна и та же метка (имя, число), а объектам разных классов – разные метки.
• Шкала порядка или ординальная шкала применяется для измерения упорядочения объектов по одному или совокупности признаков. Примером является шкала твердости минералов. Числа в шкале порядка отражают только порядок следования объектов и не дают возможности сказать, насколько или во сколько один объект предпочтительнее другого.
• Шкала интервалов применяется для отображения величины различия между свойствами объектов. Шкала может иметь произвольные точки отсчета и масштаб.
• Шкала отношений или шкала числовых дробей используется, например, для измерения массы, длины, веса. В этой шкале числа отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит свойство другого.
• Шкала разностей используется для измерения свойств объектов при необходимости выражения, насколько один объект превосходит другой по одному или нескольким признакам. Является частным случаем шкалы интервалов при выборе единицы масштаба.
• Абсолютная шкала - частный случай шкалы интервалов. В этой шкале обозначается нулевая точка отсчета и единичный масштаб. Абсолютная шкала применяется для измерения количества объектов.

 

В ряде случаев может потребоваться произвести ш кальные преобразования, т.е. осуществить переход от одной шкалы к другой.Возможны два варианта шкальных преобразований: повышение мощности шкалы и понижение мощности шкалы. Вторая процедура является тривиальной. Поскольку все возможные процедуры преобразований, которые приемлемы для более мощной шкалы (например, шкалы интервалов), допустимы и для менее мощной (например, шкалы порядка), то у нас есть право рассматривать данные, полученные с помощью интервальной шкалы, как порядковые [105].

Другое дело, если (по каким-либо соображениям) у нас возникает потребность перейти к шкале с большей мощностью, например, от шкалы наименований к шкале порядка. Для этого требуется вводить необъективные допущения и эмпирические приемы, базирующиеся лишь на интуиции и правдоподобных рассуждениях. В этом случае целесообразна эмпирическая проверка, задача которой определить, в какой мере данные, полученные с помощью «слабой» шкалы, удовлетворяют требованиям более «мощной» шкалы.

Как это реализовать? Рассмотрим, к примеру, переход от шкалы наименований к порядковой шкале. Естественно, для этого нужно упорядочить классы по некоторому основанию. Предположим, что принадлежность объекта к некоторому классу есть случайная функция. Тогда переход от номинативной шкалы к шкале порядка возможен в том случае, если существует упорядоченность классов. Во-первых, для каждого элемента существует модальный класс, вероятность принадлежности к которому значимо больше, чем к другим классам. Во-вторых, для каждого элемента существует только одна функция вероятностной принадлежности к множеству классов, такая, чтобы эти классы можно было упорядочить единственным образом. Проще говоря, каждый класс должен иметь только двух соседей: «слева» и «справа», а порядок соседства определяется эмпирической частотой попадания элементов в различные классы. В «свой» класс элемент попадает чаще всего, в «соседние» — реже и в отдаленные — весьма редко. При обработке данных осуществляется эмпирическая проверка каждой «смежной» тройки классов на стохастическую транзитивность.

Определение того, в какой шкале измерено явление (представлен признак), - ключевой момент анализа данных, поскольку любой последующий шаг, выбор любого метода обработки и интерпретации измерений существенно зависит именно от используемого типа шкалы.

 

Обычно идентификация номинативной шкалы не вызывает особых проблем. Значительно сложнее определить различие между порядковой и одной из числовых (метрических) шкал. Проблема связана с тем, что измерения, например, в социальных науках, как правило, косвенные. Непосредственно мы измеряем некоторые наблюдаемые явления или события: количество ответов на вопросы, или заданий, решённых за отведённое время, или время решения набора заданий и т.д. Но при этом выносим суждения о некотором скрытом, латентном свойстве, недоступном прямому наблюдению: об агрессивности, общительности, способности и т.д.

Количество заданий, решённых за отведённое время, - это, конечно, измерение в метрической шкале. Но само по себе это количество нас интересует в той мере, в какой оно отражает некоторую изучаемую нами способность. Соответствуют ли равные разности решённых задач равным разностям выраженности изучаемого свойства (способности)? Если ответ «да» - шкала интервальная, если «нет» - шкала порядковая.

Конечно, проще всего в подобных ситуациях согласиться с тем, что признак представлен в порядковой шкале. Но при этом, как указывалось выше, мы существенно ограничиваем себя в выборе методов последующего анализа. Более того, переход к менее мощной шкале обрекает нас на утрату части столь ценной для нас эмпирической информации об индивидуальных различиях оцениваемых объектов. Следствием этого может являться падение статистической достоверности результатов исследования. Поэтому исследователь стремится всё ж найти свидетельства того, что используемая шкала – более мощная, чем порядковая.

 

Какие именно преобразования результатов измерения являются допустимыми и, следовательно, каков тип шкалы измерения данного показателя, может существенно зависеть от глубины нашего понимания соответствующей предметной области или от степени развития данной конкретной науки. Ярким примером может служить эволюция взглядов на такой показатель, как «температура». До появления шкал Фаренгейта, Цельсия и Реомюра измерение температуры сводилось к сравнению по принципу теплее - холоднее, то есть шкала для данного показателя являлась шкалой порядка (ординальной). Появление указанных выше трех шкал перевело температуру в разряд показателей, измеряемых по шкале интервалов. Поскольку именно эти шкалы наиболее широко применяются на практике, мы до сих пор приводим температурные шкалы в качестве примеров шкал интервалов. Однако после того, как в физике появилось понятие абсолютного нуля, то есть естественной точки начала отсчета или нулевой степени проявления, температура может считаться показателем, измеряемым по шкале отношений, к которой относится температурная шкала Кельвина.

Относительно осмысленности утверждений и допустимости операций, применяемых к результатам измерений, следует заметить следующее. Одни и те же операции в зависимости от того, в каких утверждениях они участвуют, могут быть как допустимыми, так и недопустимыми для данной шкалы. Так, в шкале интервалов утверждение о сумме результатов измерений q (a)+ q (b) > q (c) не является осмысленным, так как в результате допустимого преобразования из множества (13) из последнего неравенства получим, что

k q (a)+ l + k q (b)+ l > k q (с)+ l

или

k (q(a)+ q (b))+ l > k q (с),

 

что, очевидно, будет истинным утверждением далеко не при любых k и l.

В то же время неравенство для средних арифметических результатов измерений

>

 

будет осмысленным утверждением в шкале интервалов, так как при этом аналогичное неравенство будет справедливым и для результата любого допустимого преобразования из множества (13). В самом деле, из последнего неравенства можно легко получить, что

 

+ l > + l,

откуда следует:

>

для любых k и l, что и требовалось доказать. Этот вывод подтверждается и практикой: мы привыкли, что можно сравнивать, например, средние значения температуры воздуха за определенный период времени в разных точках планеты или в одной точке, но в различные годы.

Напомним, что для шкал порядка осмысленными являются только утверждения вида q(a) > q(b), а для номинальных шкал – только вида q(a) ≠ q(b). Порядковая шкала и шкала наименований - основные шкалы качественных признаков, шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная шкала (метрические шкалы).

Как правило, операция над результатами измерений является допустимой, если можно указать ее содержательный аналог для различных степеней проявления данного показателя в реальной действительности. Например, можно положить на чашку весов n одинаковых гирь, имеющих массу Q _a, и если их суммарная масса окажется равной массе одной гири Q _b, то для данных двух размеров показателя «масса» выполнено: n Q _a = Q _b. Следовательно, операция деления для результатов измерения массы q (a) и q (b) допустима, а утверждение вида q (b)/ q (a) = n будет являться осмысленным в шкале отношений.

 

Для более наглядного представления различий в рассмотренных шкалах приведем следующий пример. Три бегуна – победители забега: Иванов (под номером 27) - первое место с результатом 10.0с, Петров (под номером 9) – второе место с результатом 10.2с и Сидоров (под номером 16) с результатом 10.6с – третье место. Забег оценивался и с позиции техники бега. Призеры получили следующие оценки: Петров – 5.9, Иванов – 5.3 и Сидоров 4.9 баллов. Сведем все эти оценки в следующую таблицу

 

Наименование оценки	Шкала	Иванов	Петров	Сидоров
Занятое место	Порядковая	первое	второе	третье
Результат	Относительная	10.0	10.2	10.6
Номера бегунов (имя)	Наименований
Оценка за технику бега	Интервальная	5.3	5.9	4.9

 

 

Итак,

1. Под измерением понимается процедура (правило), которая позволяет для данного эмпирического объекта (точнее говоря, для данной эмпирической степени проявления рассматриваемой характеристики Q _a) сопоставить определенное (числовое или нечисловое – в зависимости от типа шкалы) значение из некоторого множества, называемого множеством пунктов данной шкалы.

2. Допустимым преобразованием результатов измерений q (a) называют любое отображение φ(q), которое не нарушает истинность всякой определенной для данной шкалы операции над результатами измерений.

3. Тип шкалы характеризуется множеством допустимых преобразований результатов измерения.

 

Основные типы шкал и им соответствующие множества Ф допустимых преобразований сведем в следующую таблицу

 

	Наименование шкалы	Отличительные свойства шкалы	Допустимые преобразования	Примеры
	Номинальная шкала	в этой шкале числа используются лишь как метки и только для различения объектов	допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования	номера телефонов, цвет, пол людей
	Порядковая шкала	числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами.	допустимыми являются все строго монотонные преобразования	оценки успеваемости 2, 3, 4, 5
	Шкала интервалов	на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения	допустимыми являются линейные возрастающие преобразования,	величина потенциальной энергии или координата точки на прямой
	Шкала отношений	естественное начало отсчета - нуль, но нет естественной единицы измерения	допустимыми являются подобные (изменяющие только масштаб) .	большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд; цены в экономике.
	Шкала разностей	есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета	допустимыми преобразованиями шкале разностей являются сдвиги .	историческое время (на современном уровне знаний естественного начала отсчета времени указать нельзя)
	Абсолютная шкала	для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова	допустимым является только тождественное преобразование .	число людей в комнате