Четность, нечетность и периодичность функции

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

Определение функции

 

Пусть каждому числу х из некоторого множества Х поставлено в соответствие определенное число у. Тогда говорят, что на множестве Х задана функция. Пишут:

y = f (x).

 

Переменная х называется независимой переменной (аргументом), а переменная у зависимой. Множество Х называется областью определения данной функции и обозначается D (f), а множество всех чисел у, соответствующих различным числам х Х, – областью значений этой функции и обозначается E (f).

Если числу х ₀ D (f) соответствует некоторое число y ₀ E (f), то

у ₀ называется значением функции в точке х ₀ (или при х = х ₀).

График функции

 

Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функция y = f (x). Графиком функции f (x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f (x)), где х D (f).

График функции y = f (x) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции. В частности:

1. График функции y = f (x) + а получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Оу на | a | единиц (вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0).

2. График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Оx на | b | единиц (вправо, если b > 0, и влево, если b < 0).

3. График функции y = k f (x) получается из графика функции y = f (x) растяжением вдоль оси Оу в k раз.

4. График функции y = f (mx) получается из графика функции y = f (x) сжатием по оси Ох в m раз.

5. График функции y = – f (x) получается из графика функции y = f (x) симметричным отражением относительно оси Ох.

6. График функции y = f (– x) получается из графика функции y = f (x) симметричным отражением относительно оси Оу.

 

Четность, нечетность и периодичность функции

 

Функция называется четной, если х D (f) справедливо равенство

f (– x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Оу.

 

Функция называется нечетной, если х D (f) справедливо равенство

f (– x) = – f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида (положения).

 

Функция f (x) называется периодической, если существует такое число

Т > 0, что х D (f) справедливы условия:

 

1) х – T D (f), х + T D (f); 2) f (х – T) = f (х + T) = f (х).

 

Число Т называется периодом функции f (х). Если Т – период функции f (х), то числа Т, 2 Т, 3 Т, … также являются периодами этой функции. Обычно под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов. Если функция периодическая с периодом Т, то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на Т единиц влево или вправо.

 

Гиперболические функции

Гиперболический синус: у = sh x = .

Гиперболический косинус: у = ch x = .

Гиперболический тангенс: у = th x = = .

Гиперболический котангенс: у = cth x = = .

Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные (с точностью до знака) соответствующим формулам для тригонометрических функций:

 

ch² x – sh² x = 1, ch2 x = ch² x + sh² x,

 

ch(x y) = ch x ch y sh x sh y, sh(x y) = sh x ch y ch x sh y и т.д.

 

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

Пределы и неравенства

1. Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен.

2. Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности

3. Теорема о промежуточной переменной (о двух милиционерах): Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей { a_n }, { b_n } и { с_n } удовлетворяют условию a_n £ b_n £ с_n. Тогда если последовательности { a_n } и { с_n } сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность { b_n } также сходится к этому пределу.

 

Определение предела

 

Окрестностью точки х ₀ называется любой интервал с центром в точке х ₀.

Пусть функция f (x) определена в окрестности точки х ₀ кроме, быть может, самой точки х ₀.

 

Первое определение предела функции (Гейне):

Число А называется пределом функции f (x) в точке х ₀, если для любой последовательности { х_n }, сходящейся к х ₀ (х_n ¹ х ₀ " n), последовательность

{ f (x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначение: .

Второе определение предела функции (Коши) (эквивалентно первому):

Односторонние пределы

Пусть функция f (x) определена в правой полуокрестности точки х ₀, т.е. на некотором интервале (х ₀, х ₀ + d), где d > 0. Тогда говорят, что число А называется пределом функции f (x) справа в точке х ₀ (или правосторонним пределом), если для любой последовательности { х_n }, сходящейся к х ₀ и такой, что все ее члены больше, чем х ₀, соответствующая последовательность значений функции { f (x_n)} сходится к числу А.

Обозначение:

Аналогично определяется предел функции f (x) слева (или левосторонним предел) в точке х ₀, обозначаемый

f (x) существует в том и только том случае, когда существуют и односторонние пределы и , причем все три предела равны.

Замечательные пределы

 

Первый замечательный предел = 1.

Второй замечательный предел = 1.

Вычисление пределов

 

Пределы с тригонометрией в большинстве случаев следует максимально упростить!

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Односторонняя непрерывность

 

Функция f (x) называется непрерывной слева в точке х ₀, если она определена на некотором полуинтервале (a; x ₀] и = f (x ₀).

Функция f (x) называется непрерывной справа в точке х ₀, если она определена на некотором полуинтервале [ x ₀; b ] и = f (x ₀).

Функция f (x) непрерывна в точке х ₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е.

= = f (x ₀).

 

Точки разрыва функции

 

Пусть точка х ₀ принадлежит области определения функции f (x) или является граничной точкой этой области. Точка х ₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) не является непрерывной в этой точке.

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва 1-го рода и 2-го рода.

Если существуют конечные односторонние пределы

и , но они не равны между

собой, или же односторонние пределы равны между собой,

а значение функции в этой точке не совпадает с односторонними пределами, то х ₀ называется точкой разрыва 1-го рода.

Если в точке х ₀ существует конечный предел ,

а f (x ₀) не определено или ≠ f (x ₀), то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Точки разрыва 1-го рода функции f (x), не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции. Разность | – | – скачок функции f (x) в точке х ₀.

 

Если в точке х ₀ не существует хотя бы один

из односторонних пределов (функция «убегает» …

в бесконечность), то х ₀ называется точкой разрыва 2-го рода.

ПРОИЗВОДНАЯ

Производная функции

 

Понятие производной

Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности точки х ₀. Предел отношения приращения D у функции в этой точке (если он существует) к приращению D х аргумента, когда D х ® 0, называется производной функции

f (x) в точкех ₀. Т.о.

 

f ′(х ₀) = = .

Вычисление производной называется дифференцированием функции.

 

Пример 1. Пользуясь определением, найти производные функций:

у = f (x): a) y = 3 x ², b) y = sin x.

 

 

a) Придадим аргументу х приращение Δ х. Тогда соответствующее приращение Δ у функции будет иметь вид: Δ у = f (x + Δ х) – f (x) = 3(x + Δ х)² – 3 x ² = 3(x ² + 2 х Δ х + (Δ х)² – x ²) = 3Δ х (2 х + Δ х) => = = 3 (2 х + Δ х) = 3 ∙ 2 x = 6 x.

 

b) Имеем Δ у = sin (x + Δ х) – sin (x) = 2sin cos =>

= = ∙ = cos x.

 

Таблица производных

Логарифмическая производная

При нахождении производных от показательно-степенной функции

u (x) ^{v ( x )}, а также других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно применять логарифмическую производную.

Логарифмической производной от функции у = f (x) называется производная от логарифма этой функции

(ln y)′ = => y′ = y ∙ (ln y)′.

 

Пример 4. Найти производную от функции у = х^х.

• Прологарифмируем обе части равенства у = х^х: ln y = x ln x. Продифференцируем полученное равенство (у есть функция от х!): => y′ = y (ln x + 1) или

y′ = х^х (ln x + 1).

 

Производная неявной функции

Пусть функция у = у (x), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением

F (x, y) = 0. (1)

 

Тогда производную у¢ (x) этой функции можно найти, продифференцировав уравнение (1) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно у¢.

Пример 5. Найти производную неявно заданной функции у: х ³ + у ³ = sin (x – 2 y).

 

• Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – есть функция от х (поэтому, например, (у ³) ¢₌ 3 у ² y ′), получим: 3 х ² + 3 у ² y ′ ₌ cos (x – 2 y) ∙ (1 – 2 y ′) => y ′ (3 у ² + 2cos (x – 2 y)) = cos (x – 2 y) – 3 х ² => y ′ = .

 

Производные высших порядков

Производная f ¢(x) от функции f (x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f ¢ (x) называется производной второго порядка от функции f (x) (или второйпроизводной) и обозначается f¢¢ (x).

Аналогично определяется производная третьего порядка (или третьяпроизводная), обозначаемая f¢¢¢ (x) и т.д. Производная n -ого порядка обозначается f ^{( n )}(x).

Для функции, заданной параметрически (x = x (t), y = у (t)), вторая производная у¢¢ (x) находится по формуле = .

Пример 10. Найти: а) f ¢¢¢ (x), где f (x) = sin 3 x; b) y¢¢_xx дляфункции у = у (х), заданной параметрически x = t ², y = t ³.

 

· a) Находим первую производную f ¢(х) = (sin 3 x) ¢ = 3 cos 3 x. отсюда получаем вторую производную f ¢¢(х) = (3 cos 3 x) ¢ = – 9 sin 3 x, а затем

искомую третью: f ¢¢¢(х) = (– 9 sin 3 x) ¢ = – 27 cos 3 x.

Задание для самостоятельного решения

 

Найти производные указанных порядков для следующих функций:

a) y = tg 3 x, y ¢¢ =? b) y = – x cos x, y ¢¢ =? c) y = ln² x, y ¢¢ =?

d) y = x × ln x, y ¢¢¢ =? e) y = e ^{2 x} , y ^(V) =? f) y = ln (1 + x), y ⁽ⁿ⁾ =?

g) x = t ³, y = t ², y ¢¢ _xx =? h) x = cos t, y = sin t, y ¢¢ _xx =?

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

 

Понятие дифференциала

Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности точки х ₀. Тогда если существует такое число А, что приращение D у этой функции в точке х ₀, соответствующее приращению D х аргумента, представимо в виде

 

Δ y = A ∙ D х + α (D х) ∙ D х,

 

где α (D х) = 0 (α (D х) – б.м.ф.), то функция у = f (x) называется дифференцируемойв точке х ₀. При этом главная, линейная относительно D х,часть этого приращения, т.е. А × D х, называется дифференциалом функции в точке х ₀ и обозначается dy или d f (x ₀).

Нетрудно показать (положив у = х в выражение для приращения функции D у), что dх = D х.

Функция у = f (x) дифференцируема в точке х ₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная f ¢ (x ₀); при этом А = f ¢ (x ₀). Поэтому d f (x ₀) = f ¢ (x ₀) × dх, или, если f ¢ (x) существует на интервале (a; b), то

dу = f ¢ (x) dх, х Î (a; b).

 

 

 

Если приращение D х аргумента близко к нулю (т.е. достаточно мало), то приращение D у функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. D у» dу, откуда

f (x ₀ + D х)» f (x ₀) + f ¢ (x ₀) D х.

 

Эта формула удобна для приближенного вычисления значения функции и ее производной в точке х ₀ .

Пример 2. Вычислить приближенно ln 1,02.

• f (x) = ln x => ln (x ₀ + Δ x) ≈ ln x ₀ + ∙ Δ x || x ₀ = 1, Δ x = 0,02 || => ln 1,02 ≈

≈ ln 1 + ∙ 0,02 = 0,02.

 

Пример 3. Вычислить приближенно .

Замечание. Значение приращения аргумента в тригонометрических функциях следует брать в радианах.

 

Правила Лопиталя

1-ое правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g (x) дифференцируемы в некоторой окрестностиU (х ₀) точки х ₀, кроме, быть может, самой этой точки, и g¢ (x) ¹ 0 х Î U (х ₀), х ¹ х ₀. Тогда, если = = 0 (неопределенность вида ) и существует , то существует и

причем = .

2-ое правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g (x) дифференцируемы в некоторой окрестностиU (х ₀) точки х ₀, кроме, быть может, самой этой точки, и g¢ (x) ¹ 0 х Î U (х ₀), х ¹ х ₀. Тогда, если = = ∞ (неопределенность вида ) и существует , то существует и , причем = .

Замечания.

1. Если отношение , в свою очередь, представляет собой неопределенность вида или , то правила Лопиталя (при условии выполнения соответствующих ограничений на функции f ′(x)и g ′(x) можно применять второй раз и т.д.

 

2. Если имеет место неопределенность вида [0 ∙ ∞], то для применения правила Лопиталя ее предварительно надо свести к неопределенности вида или , т.е., если = 0, а

= ∞, то

 

3. Если имеет место неопределенность вида [∞ – ∞], то для применения правила Лопиталя ее также предварительно сводят к неопределенности вида или обычно приведением дроби к общему знаменателю.

 

4. Если имеет место неопределенность вида [0⁰], [1^∞], [∞⁰], [0^∞], то для применения правила Лопиталя их надо свести к неопределенности вида или , предварительно вычислив предел от логарифма функции (или записав степенно-показательную функцию u (x) ^{v (x)} в виде e ^{v (x) ln u (x)}).

 

 

 

Примеры 2:

 

Примеры 3:

 

Формула Тейлора

Пусть функция у = f (x) имеет в некоторой окрестности точки х ₀ производные

f ¢, f ¢¢,..., f ^{( n )}. Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место

 

равенство (при х → х ₀).

 

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Последнее слагаемое (т.е. остаточный член) в формуле Тейлора иногда записывают в виде (в этом случае надо дополнительно предполагать существование f ^{( n + 1)}(x) в данной окрестности точки х ₀). Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

 

При х ₀ = 0 формула Тейлора принимает вид

и называется формулой Маклорена.

Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстремумы функции

 

Точка х ₀ называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность U (х ₀) этой точки, что

f (х) < f (х ₀) (соответственно, f (х) > f (х ₀)) " х Î U (х ₀), х ¹ х ₀.

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

 

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если х ₀– точка локального экстремумадля функции f (x), то в этой точке производная функции либо равна нулю (f¢ (х ₀) = 0), либо не существует.

 

Точки области определения функции f (х), в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

 

Асимптоты

 

Прямая линия m называется асимптотой графика функции у = f (х), если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис.4).

Вертикальная асимптота Наклонная асимптота Горизонтальная асимптота

Рис.4.

 

Прямая х = х ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из односторонних пределов и/или равен бесконечности.

 

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ (х ® –¥), если | f (x) – (kx + b) | = 0 (соответственно,

| f (x) – (kx + b) | = 0). Прямая y = kx + b является наклонной асимптотойграфика функцииf (х) при х ® +¥ (х ® – ¥) тогда и только тогда, когда существуют пределы

= k и | f (x) – kx | = b

(соответственно, = k и | f (x) – kx | = b).

 

Частным случаем наклонной асимптоты (при k = 0) является горизонтальная асимптота. Прямая y = bявляется горизонтальной асимптотой графикафункции у = f (х) при х ® +¥ (х ® – ¥) тогда и только тогда, когда f (x) = b (соответственно, f (x) = b).

 

Построение графиков функций

 

При построении графика функции можно следующей схемой:

 

Исследование самой функции

 

1. Найти область определения функции

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

Определение функции

 

Пусть каждому числу х из некоторого множества Х поставлено в соответствие определенное число у. Тогда говорят, что на множестве Х задана функция. Пишут:

y = f (x).

 

Переменная х называется независимой переменной (аргументом), а переменная у зависимой. Множество Х называется областью определения данной функции и обозначается D (f), а множество всех чисел у, соответствующих различным числам х Х, – областью значений этой функции и обозначается E (f).

Если числу х ₀ D (f) соответствует некоторое число y ₀ E (f), то

у ₀ называется значением функции в точке х ₀ (или при х = х ₀).

График функции

 

Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функция y = f (x). Графиком функции f (x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f (x)), где х D (f).

График функции y = f (x) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции. В частности:

1. График функции y = f (x) + а получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Оу на | a | единиц (вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0).

2. График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Оx на | b | единиц (вправо, если b > 0, и влево, если b < 0).

3. График функции y = k f (x) получается из графика функции y = f (x) растяжением вдоль оси Оу в k раз.

4. График функции y = f (mx) получается из графика функции y = f (x) сжатием по оси Ох в m раз.

5. График функции y = – f (x) получается из графика функции y = f (x) симметричным отражением относительно оси Ох.

6. График функции y = f (– x) получается из графика функции y = f (x) симметричным отражением относительно оси Оу.

 

Четность, нечетность и периодичность функции

 

Функция называется четной, если х D (f) справедливо равенство

f (– x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Оу.

 

Функция называется нечетной, если х D (f) справедливо равенство