Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

 

Функция f (x), определенная на интервале

(a; b), называется выпуклой вверх (выпуклой

вниз) на этом интервале, если точки любой

дуги графика функции расположены выше

(соответственно, ниже) хорды, стягивающей

эту дугу (рис. 1).

Иногда выпуклость вверх (соответственно, Рис.1.

выпуклость вниз) называют просто выпуклостью

(соответственно, вогнутостью).

График выпуклой вверх (соответственно, выпуклой вниз) на интервале

(a; b) функции также называют выпуклым вверх (соответственно, выпуклым вниз).

 

Можно дать другое, эквивалентное, определение

вы пуклости вверх (выпуклости вниз): функция

f (x) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз)

на ин тервале (a; b),если график этой функции при

х Î (a; b) расположен ниже (соответственно, выше) Рис.2.

касательной, проведенной в любой его точке (рис. 2).

 

Достаточное условие выпуклости вверх (вниз). Пусть функция

f (x) имеет вторую производную на интервале (a; b). Тогда если

f¢¢ (х) < 0 (соответственно, f¢¢ (х) > 0) на этом интервале, то функция f (х) выпукла вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем.

Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой

окрестности точки х ₀. Тогда если при переходе через

точку х ₀ функция меняет направление выпуклости, то

эта точка называется точкой перегиба функции f (x).

Точка (х ₀, f (x ₀)) при этом называется точкой перегиба Рис.3.

графика функции f (x) (рис. 3).

Необходимое условие точки перегиба. Если х ₀ – точка перегиба функции f (x), то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю (f¢¢ (х ₀) = 0), либо не существует.

 

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 -го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2-го рода.

 

Первое достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f (x) имеет первую производную в точке х ₀ и вторую производную в некоторой ее окрестности

(кроме, быть может, самой точки х ₀ ). Тогда если при переходе через точку х ₀ вторая производная меняет знак, то точка х ₀ – точка перегиба.

 

Второе достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f (x) имеет в точке х ₀ производные до третьего порядка включительно. Тогда если f¢¢ (х ₀) = 0, f¢¢¢ (х ₀) ¹ 0, то точка х ₀ – точка перегиба этой функции.

 

 

Асимптоты

 

Прямая линия m называется асимптотой графика функции у = f (х), если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис.4).

Вертикальная асимптота Наклонная асимптота Горизонтальная асимптота

Рис.4.

 

Прямая х = х ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из односторонних пределов и/или равен бесконечности.

 

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ (х ® –¥), если | f (x) – (kx + b) | = 0 (соответственно,

| f (x) – (kx + b) | = 0). Прямая y = kx + b является наклонной асимптотойграфика функцииf (х) при х ® +¥ (х ® – ¥) тогда и только тогда, когда существуют пределы

= k и | f (x) – kx | = b

(соответственно, = k и | f (x) – kx | = b).

 

Частным случаем наклонной асимптоты (при k = 0) является горизонтальная асимптота. Прямая y = bявляется горизонтальной асимптотой графикафункции у = f (х) при х ® +¥ (х ® – ¥) тогда и только тогда, когда f (x) = b (соответственно, f (x) = b).

 

Построение графиков функций

 

При построении графика функции можно следующей схемой:

 

Исследование самой функции

 

1. Найти область определения функции