Бесконечно малые последовательности, предел последовательности

 

Последовательность { a_n } называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа e можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех n ³ N), будет выполнено неравенство | a_n | < e. Обозначение: б.м.п. { a_n }.

 

1. Число А называется пределом последовательности { α_n }, если последовательность { a_n }= { a_n – А } является бесконечно малой, или

2. число А называется пределом последовательности { α_n }, если для любого положительного числа e можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от e), что, начиная с этого номера (т.е. для всех

n ³ N), будет выполнено неравенство | α_n – А | < e, или

3. геометрическое определение: число А называется пределом последовательности { α_n }, еслив любом интервале с центром в точке А находятся почти все (т.е. все, кроме конечного числа) члены этой последовательности.

В случае, если последовательность { α_n } имеет своим пределом число А, говорят также, что последовательность { a_n } сходится (или стремится) к числу А, и обозначают этот факт так:

Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится.

 

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности

1. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

2. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

3. Всякая постоянная последовательность, члены которой равны с, сходится к этому числу.

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность также

бесконечно малая последовательность.

3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

4. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число такжебесконечно малая последовательность.

Операции над пределами последовательностей

1.
Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

2.
Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

В частности:

Пределы и неравенства

1. Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен.

2. Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности

3. Теорема о промежуточной переменной (о двух милиционерах): Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей { a_n }, { b_n } и { с_n } удовлетворяют условию a_n £ b_n £ с_n. Тогда если последовательности { a_n } и { с_n } сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность { b_n } также сходится к этому пределу.