Производная функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f (x) определена параметрически функциями х = х (t) и у = у (t). Тогда, если функции х = х (t) и у = у (t) имеют производные в точке t ₀, причем х ¢ (t) ¹ 0, а функция у = f (x) имеет производную в точке х ₀ = х (t ₀), то эта производная находится по формуле

Пример 6. Найти производную y ′(x) от функции, заданной параметрически:

x = 2cos t, y = 3sin t.

• y ′(x) = = = – = –1,5 ctg t.

 

Задание для самостоятельного решения

Найти у ¢ (х) для заданных параметрически функций у = у (х):

a) x = t ³ + t, y = t ² + t + 1; b) x = t – sin t, y = 1 – cos t;

c) x = e^t sin t, y = e^t cos t; d) x = sin² t, y = sin² t; e) x = 5 sh t, y = 4 ch t.

 

Геометрический смысл производ ной

Пусть функция y = f (x) имеет производную в

точке х ₀. Тогда существует касательная к графику

этой функции в точке М ₀ (х ₀; у ₀), уравнение

которой имеет вид

 

y – у ₀ = f ¢(x ₀) (x – x ₀).

При этом f ¢(x ₀) = tg a, где a - угол наклона этой касательной к оси Ох.

 

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение y – у ₀ = – (x – x ₀ ).

Если f ¢(x ₀) = 0 (т.е. касательная горизонтальна), то нормаль вертикальна и

имеет уравнение x = x ₀.

Пусть даны две пересекающиеся в точке М ₀ (х ₀; у ₀) кривые y = f ₁ (x) и

y = f ₂ (x), причем обе функции имеют производные в точке х ₀. Тогда углом междуэтимикривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке М ₀.

Этот угол можно найти из формулы

 

tg j = (f¢ ₂ (x ₀) - f¢ ₁ (x ₀)) / (1 + f¢ ₁ (x ₀) × f¢ ₂ (x ₀)).

 

Пример 7. Написать уравнения касательной и нормали к параболе

у ² = 4 х в точке М (1; 2).

 

• Находим у ¢ (х) как производную неявной функции: (у ² ) ¢ = (4 х) ¢, т.е.

2 у у ¢ = 4 => у ¢ = 2 / y. Значит, у ¢ (х ₀) = у ¢ (1) = 1. Отсюда получаем уравнение касательной в точке М y – 2 = 1(x – 1) => y = x + 1. Уравнение нормали: y – 2 = –1(x – 1) => y = – x + 3.

 

 

 

 

 

 

Производные высших порядков

Производная f ¢(x) от функции f (x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f ¢ (x) называется производной второго порядка от функции f (x) (или второйпроизводной) и обозначается f¢¢ (x).

Аналогично определяется производная третьего порядка (или третьяпроизводная), обозначаемая f¢¢¢ (x) и т.д. Производная n -ого порядка обозначается f ^{( n )}(x).

Для функции, заданной параметрически (x = x (t), y = у (t)), вторая производная у¢¢ (x) находится по формуле = .

Пример 10. Найти: а) f ¢¢¢ (x), где f (x) = sin 3 x; b) y¢¢_xx дляфункции у = у (х), заданной параметрически x = t ², y = t ³.

 

· a) Находим первую производную f ¢(х) = (sin 3 x) ¢ = 3 cos 3 x. отсюда получаем вторую производную f ¢¢(х) = (3 cos 3 x) ¢ = – 9 sin 3 x, а затем

искомую третью: f ¢¢¢(х) = (– 9 sin 3 x) ¢ = – 27 cos 3 x.

Задание для самостоятельного решения

 

Найти производные указанных порядков для следующих функций:

a) y = tg 3 x, y ¢¢ =? b) y = – x cos x, y ¢¢ =? c) y = ln² x, y ¢¢ =?

d) y = x × ln x, y ¢¢¢ =? e) y = e ^{2 x} , y ^(V) =? f) y = ln (1 + x), y ⁽ⁿ⁾ =?

g) x = t ³, y = t ², y ¢¢ _xx =? h) x = cos t, y = sin t, y ¢¢ _xx =?

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

 

Понятие дифференциала

Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности точки х ₀. Тогда если существует такое число А, что приращение D у этой функции в точке х ₀, соответствующее приращению D х аргумента, представимо в виде

 

Δ y = A ∙ D х + α (D х) ∙ D х,

 

где α (D х) = 0 (α (D х) – б.м.ф.), то функция у = f (x) называется дифференцируемойв точке х ₀. При этом главная, линейная относительно D х,часть этого приращения, т.е. А × D х, называется дифференциалом функции в точке х ₀ и обозначается dy или d f (x ₀).

Нетрудно показать (положив у = х в выражение для приращения функции D у), что dх = D х.

Функция у = f (x) дифференцируема в точке х ₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная f ¢ (x ₀); при этом А = f ¢ (x ₀). Поэтому d f (x ₀) = f ¢ (x ₀) × dх, или, если f ¢ (x) существует на интервале (a; b), то

dу = f ¢ (x) dх, х Î (a; b).

 

 

 

Если приращение D х аргумента близко к нулю (т.е. достаточно мало), то приращение D у функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. D у» dу, откуда

f (x ₀ + D х)» f (x ₀) + f ¢ (x ₀) D х.

 

Эта формула удобна для приближенного вычисления значения функции и ее производной в точке х ₀ .

Пример 2. Вычислить приближенно ln 1,02.

• f (x) = ln x => ln (x ₀ + Δ x) ≈ ln x ₀ + ∙ Δ x || x ₀ = 1, Δ x = 0,02 || => ln 1,02 ≈

≈ ln 1 + ∙ 0,02 = 0,02.

 

Пример 3. Вычислить приближенно .

Замечание. Значение приращения аргумента в тригонометрических функциях следует брать в радианах.