ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Математические системы. Mathcad.



MathCAD — это программное обеспечение для персонального компьютера, которое позволяет создавать документацию и выполнять расчеты в технологической и научной областях.Программное обеспечение Mathcad в настоящее время поддерживает работу с алгебраическими системами. Однако Mathcad ориентирован, в первую очередь, на инженерную разработку

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

Построение графиков

Выполнение операций с векторами и матрицами

Символьное решение систем уравнений Аппроксимация кривых

Интеграция с САПР (Система автоматизированного проектирования

 

Задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Формулы Эйлера и Рунга-Кутта.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) первого порядка называется уравнение вида: F(x, y, y' )=0,

где F — известная функция трех переменных.

Общее решение дифференциального уравнения.

Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называют- частным решением.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если функция f(x, y) и ее частная производная по yнепрерывны в области D, (x0, y0D, то на некотором интервале (x0-h, y0+h) существует единственное решение y=y(x) уравненияy'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x0, y0D проходит только одна интегральная кривая y=y(x,C0) семейства y=y(x,C) такая, что y(x0,C0)=y0.

Требуется решить ур-е :

Y '=f(x, Y), при Y(x0)=y0

1) сетка с шагом h

 
 


 

X0 X1 X2………. Xn

 

 

2) сеточная функция

X x0 x1… xn

Y y0 y1… yn

 

3) аппроксимация сеточной функции

Y '(x i)= f(x i, Y(x i)), i= от 0 до n

 

= f (x i,y i), i= от 0 до n

y i+1 = y i+ h* f(x i, y i), i= от 0 до n-1 –ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Формула Э. имеет 1 порядок точности те сущ-ет такая с , что те невысок точность L

Для повышения точности ф.Эйлера модифицируют :

y i+1=yi+ h*( f (x i,y i)+ f (x i+1,y i+1))/2

этот модифиц-я формула имеет 2 порядок точности 2

дальнейшая модиф-я ф.Эйлера приводит к формуле Рунге-Кутта, к-я имеет 4 порядок точности!

y i+1 = y i+ h*(k1+2k2+2k3+k4)/6

k1=h*f (x i, y i)

k2=h*f (x i+ h/2, y i+k1/2)

k3= h*f (x + h/2i, y i+k2/2)

k4= h*f (x i+h, y i+k3)

Programs:

Def fnf (x,y)=…

input x, y, n

3 y=y+ h*fnf (x,y)

x=x+h

print x,y

if x<b go to 3

end

Краевые задачи.

При математическом моделировании с помощью диф. урав-й получается задача, которая должна иметь одно единичное решение : для этого к диф. ур-ю добавляется дополнительные условия , накладываемые на искомую функцию и ее производную.Эти условия получаются из существующих характеристик исследования объекта или процесса. Если доп-ые условия задаются в одной точке области определения искомой функции, то эти условия называются-начальным условиями , а задача называется -задачей Коши, если же дополнительные условия задаются более чем в одной точке , то эти условия называются - граничные условия , а задача решения диф. урав-й при этих условиях называется КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

 

 





Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.216.79.60 (0.007 с.)