Итерационные методы решения СЛАУ.

Итерационные методы позволяют построить последовательность, сходящуюся точным решением. Тем самым, они позволяют получить решение с любой, заранее заданной точностью. К ним относятся: метод простых итераций, метод Якоби, метод Зейделя. Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств и от архитектуры вычислительной машины, на которой будет решаться задача.

Основное достоинство итерационных методов состоит в том, что точность искомого решения задается. Число итераций, которое необходимо выполнить для получения заданной точности, является основной оценкой качества метода. По этому числу проводится сравнение различных методов.

Главным недостатком этих методов является то, что вопрос сходимости итерационного процесса требует отдельного исследования.

 

32.Аппрксимация функций. Постановка задачи и способы ее решения.

часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации. Интерполяция (частный случай аппроксимации) Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию j (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией.При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

j (x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an,an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Pn(xi)=yi i=0,1,…n.Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).

33. Интерполяционные многочлены Лагранжа. — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел , где все различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого .

где базисные полиномы определяются по формуле:

П-значит произведение всех, представленный дробей!