Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.

Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.

Определение: Числовой последовательностью назыв множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров.

у1, у2, …, уn={yn}→yn=f(n), где у1, у2 –члены, yn=f(n) –общий член последов.

Определение: Число а назыв пределом последов, если >0, сколь угодно малого , что для всех n> N(), выполняется , при этом

=a, (a-ε;a+ε) - окрестность

Геометрическая интерпретация

y=f(x) – ф-ция, х - аргумент ф-ции, х→а, f(x) →А, А предел ф-ции

Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→а, если >0, сколь угодно малого, >0, что для всех x, для которых выполняется условие < , имеет место < =A

Замечание: 1) х→а как угодно; 2) f(x) в точке а может быть и не определена.

Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→∞, если >0, сколь угодно малого, , что для всех x,|x|>N, выполняется. < =A

Теорема: Любая функция, имеющая предел, является ограниченной.

 

 

Теоремы о пределах. Односторонние пределы.

Теорема 1: Пусть lim{x→a}f(x)=А и lim{x→a}g(x)=В, тогда 1)lim{x→a}(f(x)+g(x)) = А+В; 2)lim{x→a}(f(x)*g(x)) = А*В; 3)lim{x→a}(f(x)/g(x)) =А/В

Теорема 2: lim f1(x)= А1 lim f2(x) = А2, f1(x)<=f2(x), x D(f) => A1<A2

Теорема 3: lim f1(x)=А, lim f2(x) = А, f1(x)<f(x)<f2(x) => lim f(x) =A

Определение: если при вычислении предела lim{x→a}f(x) при х→а, Х остаётся всё время меньше (больше) а, то предел называется левым(правым) – оба односторонние.

Замечание: 1) Если сущ-ют и равны м/у собой односторонние пределы, то они равны пределу f(x), при х→а. 2) Если существует предел данной функции, то существует и его односторонние пределы.

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tg x)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sin x:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x)

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [ x ] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.

Точки разрыва.

Если для y=f(x) рав-во (3): f(x₀ -0)+f(x₀ +0) =f(x₀) нарушается, то х₀ - точка разрыва

Характер нарушения рав-ва (3) кладется в основу классификации точек разрыва:

1. а) если f(x₀ -0) и f(x₀ +0) сущ-ют и f(x₀ -0) ≠f(x₀ +0), то х₀ - наз. т-кой разрыва 1-го рода с конечным скачком.

Разность f(x₀ -0)-f(x₀ +0) наз скачком ф-ции в т.х ₀ b)Если в т. х f(x₀ -0) = f(x₀ +0) ≠f(x₀), то х₀ наз т-кой разрыва 1 рода устранимой.

2. Если хотя бы один из пределов f(x ₀-0) или f(x₀ +0) не сущ-ет или =∞, то х₀ наз т-кой разрыва 2-го рода ф-ции y=f(x)

Теоремы о непрерывных ф-ях.

Т 1. Если y=f(x) и y=g(x) непрерывны в т. x ₀, то в этой т-ке непрерывны также f(x) ±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x),(g(x₀) ≠0)

Т 2. Сложная ф-ция, составленная из конечного числа непрерывных ф-ций непрерывна.

Т 3. Ф-я обратная к непрерывной и монотонной ф-ции непрерывна.

Вывод: Все элементарные ф-ции непрерывны в областях, где они определены

Геометрический смысл

f(x)=tg – угловой коэффициент касательной

Следствия.

1) (cu)'=cu', где с=const

2) (u*v*w)=u'vw+v'uw+w'uv

Ур.кас-ой. нормали.

Касательная - предельное положение секущей.

Нормаль-прямая, перпендик. касательной в точке. Геом.смысл производной

f’(x)=tgA=K

Из аналит.геом

Ур.кос:y-y0=f’(x0)(x-x0) K=-1/f’(x0)

Ур.нормали y-y0=-(x-x0)/f’(x0)

Диф-ы сложных ф-ий

Расм. Сложную ф-ию

{y=f(u),u=g(x)}

Y=f(g(x))=F(x)

dy=F’(x)dx=f’

(u)g’(x)dx=f’(u)du

Св.инвариантности: диф-л 1-го порядка сохр. свою форму независимо от того будет ли аргумент ф-ии независимой переменной или функцией.

Для диф-в высшего порядка это св-во не сохраняется

 

Дост. признак экстремума

Пусть т. Х0-критическая (f’(x0)=0, несущ.) если

Правило нахождения экстремума

1. D(x)? 2.f’(x)?

3. крит точки?

4. разбить D(f) точками (+-)

5. Ответ

Дост. признак экстремума

Пустьf’(x0)=0, f’’(x0)≠0 то если f’’(x0)<0 то x0-т.max, f’’(x0)>0 то x0-т.min

 

Вертикальные асимптоты

-

Наклонная асимптота

Прямая y=kx+b-накл.ассимп графика ф-ии y=f(x) если

f(x)-kx-b→0, т. к. по формуле нахождения расстояния от точки то графика

Теорема

Для того чтоб прямая y=kx+b была наклон асимп.грфика ф-ии y=(x) необходимо и достаточно чтобы

Горизонтальная

Если при нахождении накл.ас. к=0 то y=b- г.о.

 

Предел и непрерывность.

Определение. Окрестностью радиуса r точки М0(х₀,y₀) называется множество точек М(x,y) координаты которых удовлетворяют неравенству

Определение. Число А называется пределом функции f(x,у) при М(х;у)->М₀(х0,у0), если для любого наперед заданного ε > 0 существует такой радиус r, что для всех точек из окрестности радиуса r точки М0 выполняется:

| f (x,y) - f (x0,y0)| < E и обозначается

A=lim {x→х0 y→у0} f (x;y)

причем x;y стремятся к точке М0 произвольным образом.

Замечание. В некоторых случаях предел функции зависит от порядка вычисления предела по аргументам.

Определение. Функция f (х;у) называется непрерывной в точке M0, если в окрестности этой точки выполняется соотношение

(3) Lim{ x → х0; y → у0 } f(x,y) = f(x0;y0)

Определение. Функция, непрерывная во всех точках области, называется непрерывной в этой области,

преобразуем соотношение

Lim { ∆x →0 ∆y→0 }[ f(x,y) - f(x0;y0)]=0

Так как x → x0 и y → y0, x=x0 + ∆x, y =y0 + ∆y, ∆x→0, ∆y→0

То имеем

Lim{ ∆x→0, ∆y→0 } [ f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0;y0)]=0

Определение. Если предел полного приращения при ∆ х → 0 и ∆ y → 0 равняется нулю, то функция называется непрерывной в точ­ке x0,y0.

Определение. Точка разрыва x1,y1, может быть в следующих слу­чаи:

1.Функция f(x,у) в точке х1, у1 не определена.

2.Функция f(x, у) определена в самой точке и в окрестности ее, a предел не существует

З.Существует предел функции, функция определена в точке в и ее окрестности, но не выполняется равенство (3) при х → х1, у → y1

 

II. Метод замены переменной

∫f(x)dx=|x=φ(t), dx=φ’(t)dt|=∫f(φ(t))φ’(t)dt

Геометрический смысл

1) f(x)≥0 [а,b], то

2) f(x) – знакопеременна на [а,b]

По определению полагаем

1) 2)

Свойства определенного интеграла:

1)

2)

3)

4) Если точка С разбивает [а,b] на [а,с] и [с,b], то интеграл

5)

Если

Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с .

Здесь — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах , где является элементом объема в прямоугольных координатах.

Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.

Определение: Числовой последовательностью назыв множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров.

у1, у2, …, уn={yn}→yn=f(n), где у1, у2 –члены, yn=f(n) –общий член последов.

Определение: Число а назыв пределом последов, если >0, сколь угодно малого , что для всех n> N(), выполняется , при этом

=a, (a-ε;a+ε) - окрестность

Геометрическая интерпретация

y=f(x) – ф-ция, х - аргумент ф-ции, х→а, f(x) →А, А предел ф-ции

Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→а, если >0, сколь угодно малого, >0, что для всех x, для которых выполняется условие < , имеет место < =A

Замечание: 1) х→а как угодно; 2) f(x) в точке а может быть и не определена.

Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→∞, если >0, сколь угодно малого, , что для всех x,|x|>N, выполняется. < =A

Теорема: Любая функция, имеющая предел, является ограниченной.