Теоремы о пределах. Односторонние пределы.

Теорема 1: Пусть lim{x→a}f(x)=А и lim{x→a}g(x)=В, тогда 1)lim{x→a}(f(x)+g(x)) = А+В; 2)lim{x→a}(f(x)*g(x)) = А*В; 3)lim{x→a}(f(x)/g(x)) =А/В

Теорема 2: lim f1(x)= А1 lim f2(x) = А2, f1(x)<=f2(x), x D(f) => A1<A2

Теорема 3: lim f1(x)=А, lim f2(x) = А, f1(x)<f(x)<f2(x) => lim f(x) =A

Определение: если при вычислении предела lim{x→a}f(x) при х→а, Х остаётся всё время меньше (больше) а, то предел называется левым(правым) – оба односторонние.

Замечание: 1) Если сущ-ют и равны м/у собой односторонние пределы, то они равны пределу f(x), при х→а. 2) Если существует предел данной функции, то существует и его односторонние пределы.

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tg x)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sin x:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x)

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [ x ] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.