Дифференцирование неявных функции

1 Функция одного аргумента. Пусть дана некоторая непрерывная функция y = f(x) задана в неявной форме, то есть в виде уравнения F(x;y)=0 (уравнение 1). Требуется найти производную , используя уравнение (1) как функцию двух переменных. Теорема. Если у непрерывная функция от х задана неявно и существуют частные производные ,причем , тогда справедлива формула: (Ур 2)

Доказательство. Первый способ. Придавая аргументу х приращение используя определение частной производной и т.д. Второй способ. Представим уравнение (1) как сложную функцию двух переменных z = F (x;y) и y = y(x). Найдем ее полную производную . На самом деле функция z – тождественный ноль, поэтому ее полная производная равна нулю. . Откуда найдем

или Теорема доказана.

2 Функция многих переменных, заданной неявно. Пусть задана функция трех переменных F (x;y;z) причем х;у – независимые переменные, а функция z зависит от х;у и задана неявно. При дифференцировании по х, переменную у считаем постоянной, поэтому можно предполагать, что z –неявная функция относительно одного аргумента х; F(x,const,z)=0. Следовательно, к этому уравнению можно применить уравнение (2), где вместо у возьмем z, тогда аналогично, (Ур 3)

 

Обобщим формулу (3). Пусть функция u многих аргументов задана неявно F (x;y;z;..;t;u)=0, тогда частные производные определяются по формуле

Таким образом, частные производные функции нескольких переменных, заданных неявно, равны отношению частных производных по одной переменной к частной производной по переменной функции, взятой с обратным знаком.

 

23. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

, . Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум. Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при , т. е.

. Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит, Что и требовалось доказать.Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции . Уравнение касательной плоскости к поверхности : для стационарной точки принимает вид . Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные , . (*) и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными. Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.Пусть точка является стационарной точкой функции , т. е. Вычислим в точке значение вторых частных производных функции и обозначим их для краткости буквами A, B и C: Если , то функция имеет в точке экстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (Из условия следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки). Если , то точка не является точкой экстремума.Если , то неясно, является ли точка точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.

24. Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства, таблица интегралов.

Ф-ция F(x) называется первообразной для f(x) на некотором интервале. F’(x)=f(x)

Теорема. Если ф-ция f(x) имеет хотя бы одну первообразную F(x),то ф-ция F(x)+C также является первообразной f(x).

Совокупность всех первообразных для f(x) назыв. неопределенным интегралом от этой ф-ции и

обозначается. ∫f(x)dx=F(x)+C f(x)-подынтегральная ф-ция, f(x)dx- подынтегральное выражение.

Свойства. 1) (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2) d∫f(x)dx =(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

3) ∫df(x)dx=∫f’(x)dx =f(x)+C

Теорема. Если f(x) непрерывна на интервале (а,b),то она имеет на нем первообразную.

Геометрический смысл первообразной. ∫f(x)dx =F(x)+C=y эти уравнения определяют множества кривых, которые назыв. интегральными кривыми. Для того чтобы выделить из семейства интегральных кривых одну, задают начальные условия, что равносильно заданию точки, через которую проходит искомая интегральная кривая.