Виды физико-математических моделей технических объектов

По форме

По характеру

По степени

По способу

представления

отображаемых

абстрагирования

получения ФММ

ФММ

свойств ТО

Инвариантные

Функциональные

ФММ микроуровня

Теоретические

(с распределенными

параметрами)

Алгоритмические

Структурные

ФММ макроуровня

Экспериментальные

(с

факторные

сосредоточенными

параметрами)

Аналитические

ФММ мета уровня

Графические

(схемные)

Виды математических моделей технических объектов

По учету физических свойств ТО

По способности прогнозирования

результатов

Динамические

Детерминированные

Статические

Вероятностные

Непрерывные

Дискретные

Линейные

Нелинейные

Структура модели - это упорядоченное множество элементов и их отношений. Параметр - это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры - свойства его элементов. Внешние параметры - это параметры внешней Среды, оказывающей влияние на

 

функционирование технического объекта.

 

К физико-математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы.

 

ее зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний или мета уровень, средний или макроуровень, нижний или микроуровень.

 

Мета уровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-техничекский1 поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.

 

На макроуровне объект рассматривается как динамическая система с сосредоточенными параметрами. Физико-атематические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.

 

На микроуровне объект представляется как сплошная Среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами. При этом базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней Среды и других элементов технического объекта, являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.

 

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

 

ее инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.

 

ее алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные, модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.

 

 

24. Как различаются математические модели по форме представления?

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

 

ее инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.

 

ее алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные, модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.

 

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных

параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Аналитические математические модели позволяют легко и просто решать задачи определения оптимальных параметров. Поэтому, если представляется возможность получения модели в таком виде, ее всегда целесообразно реализовать, даже если при этом придется выполнить ряд вспомогательных процедур, Такие модели обычно получают методом планирования эксперимента (вычислительного или физического).

 

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

 

Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

 

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются только при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими перемененными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Такие модели широко используют на метауровне при выборе технического решения.

 

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех уровнях проектирования. На метауровне функциональные задачи позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне - оптимизации параметров базовых элементов

 

 

25. Что такое алгоритмические модели?

алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные, модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.

К алгоритмическим моделям относятся такие, в которых критерии и (или) ограничения описываются математическими конструкциями, включающими логические условия, приводящие к разветвлению вычислительного процесса, и так называемые имитационные модели — моделирующие алгоритмы, имитирующие поведение элементов изучаемого объекта и взаимодействие между ними в процессе функционирования.

В зависимости от того, содержит ли ЭММ случайные факторы, она может быть отнесена к следующим классам:

• стохастические — свойственно наличие факторов в модели, которые имеют вероятностную природу и характеризуются какими-либо законами распределения. Реализация стохастических ЭММ осуществляется методами имитационного статистического моделирования;
• детерминированные — ни целевая функция, ни уравнения связи не содержат случайных факторов. Следовательно, для данного множества входных значений модели на выходе может быть получен только один результат.

Следующим признаком, по которому можно различать ЭММ, является связь с фактором времени:

• динамические — модели, в которых входные факторы, а следовательно, и результаты моделирования явно зависят от времени;
• статические — модели, в которых зависимость от времени отсутствует совсем либо проявляется слабо или неявно.

 

26. В чем разница между теоретическими и экспериментальными функциональными математическими моделями?

ПО способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

 

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как “черный ящик”. Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

 

При построении теоретических моделей используется физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа и т.д.

 

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Экспериментальные модели - формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области пространства параметров, в которой осуществлялось варьирование параметров в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности. Следовательно, экспериментальные математические модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей, широко используются при проверке научных гипотез.

 

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные. Линейные модели содержат только линейные функции величин, характеризующих состояние объекта при его функционировании, и их производных. Характеристики многих элементов реальных объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции этих величин и их производных и относятся к нелинейным.

 

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта

 

К (или) изменение во времени объекта или внешней Среды, то модель называют динамической. В противном случае модель - статическая. Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической - системой алгебраических уравнений.

 

Если воздействие внешней Среды на объект носит случайный характер

 

К описывается случайными функциями. В этом случае требуется построение

 

вероятностной математической модели. Однако такая модель весьма

сложная и ее использование при проектировании технических объектов требует больших затрат машинного времени. Поэтому ее применяют на заключительном этапе проектирования.

 

Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые,

импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями.

 

27. В чем состоит смысл программирования при разработке имитационной модели?

При этом оцениваются точность имитации явлений, устойчивость результатов моделирования, чувствительность критериев качества к изменению параметров модели. Получить эти оценки в ряде случаев бывает весьма сложно. Однако без успешных результатов этой работы доверия к модели не будет ни у разработчика, ни у заказчика ИМ. У разных исследователей в зависимости от вида ИМ сложились различные интерпретации понятий точности, устойчивости, стационарности, чувствительности ИМ. Пока не существует общепринятой теории имитации явлений на ЭВМ. Каждому исследователю приходится полагаться на свой опыт организации имитации и на свое понимание особенностей объекта моделирования.

 

Точность имитации явлений представляет собой оценку влияния стохастических элементов на функционирование модели сложной системы.

 

Устойчивость результатов моделирования характеризуется сходимостью контролируемого параметра моделирования к определенной величине при увеличении времени моделирования варианта сложной системы.

 

Стационарность режима моделирования характеризует собой некоторое установившееся равновесие процессов в модели системы, когда дальнейшая имитация бессмысленна, поскольку новой информации из модели исследователь не получит и продолжение имитации практически приводит только к увеличению затрат машинного времени. Такую возможность необходимо предусмотреть и разработать способ определения момента достижения стационарного режима моделирования. Чувствительность ИМ представляется величиной минимального приращения выбранного критерия качества, вычисляемого по статистикам моделирования, при последовательном варьировании параметров моделирования на всем диапазоне их изменений.