Физико-математические модели, основанные на экстремальных принципах.

 

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.

 

Экстремальный принцип используется при аппроксимации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое изображение такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

 

Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью y=j(х).

 

Вид этой зависимости и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х. Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е.

 

обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

 

Для решения этой задачи обычно применяется расчетный метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

 

Разумеется, перечисленные разновидности математических моделей не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела - физики элементарных частиц.

 

5. качествеосновногопринципаклассификациифизико-

 

математических моделей часто используют области их применения. При

 

таком подходе выделяются следующие области применения:

 

· физические процессы;

 

· технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;

 

· жизненные процессы (биология, физиология, медицина);

 

· большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);

 

· гуманитарные науки (языкознание, искусство).

 

(Области применения указаны в порядке, соответствующем убыванию уровня адекватности моделей).

 

Виды физико-математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические, непрерывные и дискретные,

 

функциональные и структурные.

 

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

 

 

 

 

 

7.Опишите компьютерную реализацию математических моделей. Какие основные принципы и методы компьютерной реализации математических моделей Вы знаете? Базы данных. Языки и среды программирования. Этапы и особенности реализации компьютерных моделей.

 

Общие методологические аспекты широкого класса компьютерных моделей позволяют исследовать механизм явления, протекающие в реальном объекте с большими или малыми скоростями, когда в натурных экспериментах с объектом трудно (или невозможно) проследить за изменениями, происходящими в течение короткого времени или когда получение достоверных результатов сопряжено с длительным экспериментом.

 

При необходимости машинная модель “растягивает” или “сжимает” реальное время, так как машинное моделирование связано с понятием системного времени, отличного от реального. Кроме того, с помощью машинного моделирования можно обучать принятию решений в управлении объектом.

 

Сущность компьютерного моделирования системы состоит в проведениичисленного эксперимента с моделью, которая представляет собой некоторый программный комплекс, описывающий формально и (или) алгоритмически поведение элементов системы S в процессе ее функционирования, т. е. в их взаимодействии друг с другом и внешней средой Е.

 

Требованиями пользователя к модели M процесса функционированиясистемы S являются:

 

2 Полнота модели должна предоставлять пользователю возможностьполучения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.

 

3 Гибкость модели должна давать возможность воспроизведенияразличных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов и параметров системы.

 

4 Длительность разработки и реализации модели большой системы должна быть по возможности минимальной при учете ограничений на имеющиеся ресурсы.

 

5 Структура модели должна быть блочной, т. е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.

 

6 Информационное обеспечение должно предоставлять возможность эффективной работы модели с базой данных систем определенного класса.

 

7 Программные и технические средства должны обеспечивать эффективную (по быстродействию и памяти) машинную реализацию модели и удобное общение с ней пользователя.

 

8 Должно быть реализовано проведение целенаправленных (планируемых) компьютерных экспериментов с моделью системы с использованием аналитико-имитационного подхода при наличии ограниченных вычислительных ресурсов.

При компьютерном моделировании системы S характеристики процесса ее функционирования определяются на основе модели М, построенной исходя из имеющейся исходной информации об объекте моделирования.

 

При получении новой информации об объекте его модель пересматривается и уточняется с учетом новой информации, т.е. процесс моделирования, включая разработку и машинную реализацию модели, является итерационным. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор,пока небудет получена модель М, которую можно считать адекватной в рамках решения поставленной задачи исследования и проектирования системы S.

 

Моделирование систем с помощью ЭВМ можно использовать в следующих случаях:

 

а) для исследования системы S до того, как она спроектирована, с целью определения чувствительности характеристики к изменениям структуры, алгоритмов и параметров объекта моделирования и внешней среды;

 

б) на этапе проектирования системы для анализа и синтеза различных вариантов системы и выбора такого варианта, который будет удовлетворять заданному критерию оценки эффективности системы при принятых ограничениях;

 

в) при эксплуатации системы, для получения информации, дополняющей результаты натурных испытаний (эксплуатации) реальной системы, и получения прогнозов развития системы во времени.

 

Основные этапы моделирования больших систем:

 

· построение концептуальной (описательной) модели системы и ее формализация;

 

· алгоритмизация модели и ее компьютерная реализация;

· получение и интерпретация результатов моделирования.