Вероятность попадания значения нормальной случайной величины в заданный промежуток

Функция распределения нормальной случайной величины с параметрами - математическое ожидание и – стандартное квадратичное отклонение выражается через функцию Лапласа следующим образом (при замене переменной , тогда , или ):

Последнее равенство получается из соотношения между функцией распределения стандартной нормальной случайной величины и функцией Лапласа: .

Таким образом, в любых оценках вероятностей для произвольной нормальной случайно величины можно использовать функцию распределения стандартной нормальной случайной величины или функцию Лапласа, но с переходом к некоторой нормализованной переменной . Эта переменная z представляет собой значения стандартной нормальной случайной величины, если x представляют значения произвольной нормальной случайной величины. Ведь математическое ожидание для z равно 0, стандартное квадратичной отклонение равно 1, именно ради этих значений и делается замена переменной .

Определим с помощью этих функций вероятности попадания значений нормальной случайной величины в те или иные интервалы. Напомним, что в силу непрерывности нормальной случайной величины, вероятности её значений в той или иной конкретной точке всегда равны 0. Поэтому для интервалов её значений можно брать как строгие, так и нестрогие границы, добавление вероятностей на этих границах, если они будут, окажутся равными 0, т.е. равны все вероятности .

Поэтому напишем формулу только для первой из таких вероятностей, используя свойства определённого интеграла:

,

где , а .

В результате получается такая последовательность действий для определения вероятности попадания значения нормальной случайной величины в интервал

1. Вычисляем так называемые z-оценки границ интервала: и .

2. Вычисляем разности значений функций распределения стандартной случайной величины или функции Лапласа в границах этих z-оценок. Это искомая будет вероятность: .

При вычислениях в Microsoft Excel удобнее использовать функцию распределения стандартной случайной величины , которая называется НОРМСТРАСП. А при вычислениях по таблицам удобнее использовать функцию Лапласа. Результат получается одинаковым.

Пример. В предположении, что цена акций некой компании на фондовом рынке является нормально распределённой со средним значением 45 долларов США и средним квадратичным отклонением 7 долларов США, определить какова вероятность того, что цена акций станет 1) более 50 долларов США; 2) более 70 долларов США; 3) менее 35 долларов США; 4) от 35 до 55 долларов США; 5) от 40 до 50 долларов США.

1) Вероятность того, что цена акций станет более 50 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены по таблице значений функции Лапласа.

2) Вероятность того, что цена акций станет более 70 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.

3) Вероятность того, что цена акций станет менее 35 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.

4) Вероятность того, что цена акций станет от 35 до 55 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.

5) Вероятность того, что цена акций станет от 40 до 50 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.