Другие характеристики центральных тенденций и изменчивости распределений случайных величин

Числовые характеристики случайных величин можно условно разделить на основные и вспомогательные. К основным характеристикам относятся характеристики положения случайной величины и характеристики рассеяния. Характеристики положения указывают некоторую точку на числовой оси, вокруг которой группируются возможные значения случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, мода и медиана случайной величины. Характеристики рассеяния являются некоторой мерой разброса возможных значений случайной величины около своего центра рассеяния, например, математического ожидания. Характеристиками рассеяния являются дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, которая полностью определяется дисперсией, но может быть удобна в практическом применении.

Дополнительные числовые характеристики случайных величин применяются для дальнейшего уточнения их свойств. К таким характеристикам, прежде всего, относятся асимметрия (или скошенность) и эксцесс (или островершинность) закона распределения случайной величины. К дополнительным характеристикам относится и коэффициент вариации случайной величины, который характеризует относительный разброс возможных значений случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины вместе со стандартным отклонением были описаны выше. Опишем теперь другие числовые характеристики случайных величин.

Мода

Модой непрерывной случайной величины X называется такое значение x, при котором плотность распределения вероятностей случайной величины p(x) принимает максимальное значение. Модой для дискретной случайной величины является её наивероятнейшее значение, на практике – наиболее частое значение. Мода обозначается через Mo.

Таким образом, мода – это наиболее часто встречающееся значение в наборе данных. В случае, если данные сгруппированы и построено распределение частот, модой является значение в данных, имеющее наибольшую частоту. Моду можно использовать для измерения центральной тенденции распределения, как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Но необходимо учитывать и ограничения в применении моды для такого использования: мода показывает только расположение наиболее частого значения в данных, но не позволяет учесть другие важные особенности распределения, например, число наблюдений выше или ниже моды, расстояния между модами, если их в распределении несколько, и т.п.

Для нахождения моды непрерывной случайной величины нужно исследовать плотность распределения вероятностей на максимум. Для этого нужно найти стационарные точки, как корни уравнения p′(x) = 0, затем применить к найденным точкам один из достаточных признаков максимума. Если максимумов вообще нет, то говорят, что моды не существует. Если максимум один, то закон распределения называют одномодальным, если максимумов несколько, то – многомодальным. На рисунке ниже представлены одномодальное распределение (а) и бимодальное или двухмодальное распределение (б).

 

Рисунок. Одномодальное распределение (а) и бимодальное распределение (б)

 

Таким образом, получается, что мода – это локальная, а не глобальная характеристика непрерывного случайного распределения. Ведь для глобальной характеристики всегда получалась бы одна единственная мода – значение с максимальной частотой. Но и в теории и в практике понимание моды как локальной характеристики непрерывного случайного распределения стало уже общепринятым. Необходимо отметить, что бывают и распределения, имеющие три и более мод, но при большом числе мод описание распределения в терминах наиболее частых значений уже, как правило, теряет смысл.

Для определения моды дискретной случайной величины необходимо построить её ряд распределения, а в нём выбрать значение, для которого абсолютная или относительная частота будет максимальной.

Пример. Пусть распределение проданной в магазине женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Размер обуви
Количество проданных пар

В этом ряду распределения модой является 37 размер, потому что с этим размером было продано больше всего обуви – 108 пар. Следовательно, в этом примере Мо=37.

Но бывает, что данные заданы интервалами значений частот, а не конкретными их значениями для каждого отдельного данного. Для интервальных данных определение моды несколько сложнее, и её невозможно определить точно. Общепринятой является такая процедура определения моды в этих случаях. Сначала нужно найти интервал значений данных, для которого суммарная частота является наибольшей. Этот интервал можно назвать модальным интервалом, т.е. интервалом, частота которого максимальна относительно других интервалов.

В самом простом варианте для интервальных данных модой считается середина этого модального интервала.

Для большей обоснованности определения моды для интервальных данных делается некоторое общепринятое допущение о том, что интервалы выше и ниже модального в зависимости от своей частоты имеют разные веса и влияют на положение моды, как бы перетягивают моду в свою сторону. Если частота интервала следующего за модальным больше, чем частота интервала перед модальным, то мода будет правее середины модального интервала и наоборот. Общепринятой формулой расчёта моды с учётом весов интервалов, прилегающих к модальному, является такая:

,

где - это мода, - значение начала модального интервала (его левая граница), - ширина модального интервала (от левой до правой границы), - частота модального интервала, - частота интервала непосредственно предшествующего модальному, а - частота интервала непосредственно следующего за модальным. Следовательно, в этой формуле мода интервального ряда представляет собой сумму значения начального уровня модального интервала и ширины отрезка, который определяется соотношением частоты ближайших к модальному интервалов.

В электронных таблицах, например, в Microsoft Excel, почти всегда есть встроенные функции для вычисления моды. В русскоязычной версии Microsoft Excel такая функция так и называется =МОДА(), она вычисляет моду для массива или одного интервала значений. Но эта функция не подходит для вычисления моды для интервальных данных, с несколькими интервалами значений.

Пример. Пусть распределение сотрудников по стажу их работы характеризуется следующими данными.

Стаж работы, лет	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10 и более
Число сотрудников, чел.

В самом простом варианте медианным стажем работы сотрудников можно считать 7 лет, потому что медианным является интервал данных от 6 до 8 лет стажа, а среднее арифметическое концов этого интервала даёт его середину, т.е. Мо=(6+8)/2=7.

С учётом ближайших к модальному интервалов моду нужно вычислять по более сложной формуле: . Это, безусловно, приближённое значение моды, но в данном случае точно её значение определить невозможно. И на практике считается, что этот второй вариант определения моды для интервального ряда распределения точнее даёт её значение, чем для простого варианта с серединой интервала.

Для вычисления моды непрерывной случайной величины необходимо находить экстремумы её плотности распределения.

Пример. Найти моду следующей непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью:

Сначала найдём производную от плотности: = . Теперь решим уравнение . Приравняем к нулю результат вычисления этой производной: . В левой части два сомножителя больше нуля: по условию задачи, а , потому что значения показательной функции всегда больше нуля. Получается, что нулю может равняться только последний, третий сомножитель: . Решая это линейное уравнение, получаем: . В этой точке плотность вероятности будет иметь максимум, потому что величина при , т.е. левее плотность вероятности возрастает, при величина ,, т.е. правее плотность вероятности убывает. Поэтому в самой точке плотность вероятности нашей случайной величины имеет максимум, т.е. это и есть мода этой случайной величины.

Медиана

Медианой случайной величины X называется такое её значение Me, которое разбивает всю область возможных значений случайной величины на две равновероятные части, т.е. для этого значения должно быть:

Из определения следует, что медиана, как и мода, точно может быть определена для непрерывных случайных величин, а для дискретных – не всегда.

По определению, медиана находится как решение уравнения F(x) = 0,5, где F(x) – это функция распределения случайной величины, потому что по определению . Очевидно, что для дискретных величин это уравнение не всегда имеет решение, может иметь даже бесконечное множество решений в силу ступенчатого характера функции распределения вероятностей. Графическое решение этого уравнения показано на следующем рисунке.

 

Рисунок. Медиана – это аргумент функции распределения, который даёт её значение 0,5.

В некоторых задачах для дискретных случайных величин за медиану принимается некоторое значение x, достаточно близкое к решению указанного уравнения.

В случае симметричных распределений медиана совпадает с математическим ожиданием случайной величины. Если, к тому же, распределение является одномодальным, то совпадают все три характеристики – математическое ожидание, мода и медиана.

В электронных таблицах, например, в Microsoft Excel, почти всегда есть встроенные функции для вычисления медианы. В русскоязычной версии Microsoft Excel такая функция так и называется =МЕДИАНА(), она вычисляет медиану, как для предварительно упорядоченных, так и для неупорядоченных массивов значений.

Пример. Проводилось тестирование 11 человек на уровень интеллекта по тесту IQ. Результаты приведены в следующей таблице:

Номер испытуемого
IQ

Необходимо определить моду и медиану для этого распределения значений.

Модой является наиболее часто встречающееся значение. Поэтому необходимо просто подсчитать, сколько раз в этом ряду распределения встречается каждое значение:

IQ						Всего
Сколько раз встречается

Чаще всего (5 раз) встречается значение IQ=110, это и есть мода данного распределения.

В этой же таблице значения случайной величины упорядочены слева направо по возрастанию значений. Такое упорядочение позволяет определить значение случайной величины, левее которой и правее которой будет одинаковое число значений, в нашем случае – по 2. Таким срединным значением будет IQ=100, это и есть медиана данного распределения.

Но так можно определить медиану только для распределения с нечётным числом различных значений. Если число таких значений будет чётным, нужно брать среднее арифметическое из двух значений, которые находятся в середине упорядоченного ряда значений случайной величины.

Пример. Снова проводилось тестирование 11 человек на уровень интеллекта по тесту IQ. Результаты приведены в следующей таблице (только у 11 испытуемого теперь IQ=115):

Номер испытуемого
IQ

Необходимо определить моду и медиану для этого распределения значений.

Модой является наиболее часто встречающееся значение. Поэтому необходимо просто подсчитать, сколько раз в этом ряду распределения встречается каждое значение:

IQ							Всего
Сколько раз встречается

Чаще всего (теперь 4 раза) снова встречается значение IQ=110, это и есть мода данного распределения.

В этой же таблице значения случайной величины упорядочены слева направо по возрастанию значений. Такое упорядочение позволяет определить значение случайной величины, левее которой и правее которой будет одинаковое число значений. Но теперь это получилось не одно значение, а два, т.е. 100 и 110, левее и правее которых в нашем случае – по 2 значения. Тогда срединным значением в распределении будет , это и есть медиана данного распределения. Хотя такого значения IQ=105 в данном ряду распределения нет.

Квантили

Кроме моды и медианы ряды распределений могут характеризоваться квантилями, понятие которых является обобщением понятия медианы. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения, потому что квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности данных.

Более точно: «квантиль порядка p», который обозначается , и для которого 0<p<1, потому что p – это вероятность, – это значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение p или имеет место «скачок» со значения меньше p до значения больше p. Иначе говоря, «квантиль порядка p» - это такое значение аргумента функции распределения случайной величины, что . Поскольку по определению функции распределения , можно говорить, что такое значение случайной величины , для которого вероятность . Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственная квантиль порядка p, но бывают более сложные распределения, у которых можно обнаружить не одну такую квантиль. Эти более сложные распределения в настоящем курсе не изучаются.

Медиана является частным случаем квантиля, потому что , ведь оба эти значения определяют середину распределения: для медианы и дл квантиля .

Как правило, для характеристики распределений случайных величин, за исключением случая медианы, выбирают не один, а серию квантилей, расположенных на числовой оси на одинаковых расстояниях друг от друга. Наиболее употребительны для этих целей квартили, которые делят распределение на 4 части, децили, которые делят распределение на 10 частей, а также перцентили, которые делят распределение на 100 частей.

Для квартилей часто используют такие обозначения: , , , Квартиль используется крайне редко, потому что он просто характеризует всё распределение. А 1-й квартиль – это значение, ниже которого находится 25% совокупности. 2-й квартиль делит совокупность данным пополам (это совпадает с медианой), а 3-й квартиль отделяет 25% наибольших значений.

Для расчета квартилей в версиях Microsoft Excel до 2007 г. использовалась функция =КВАРТИЛЬ(массив;часть). Начиная с версии Microsoft Excel 2010, применяются две функции: =КВАРТИЛЬ.ВКЛ(массив;часть) и =КВАРТИЛЬ.ИСКЛ(массив;часть), дающие несколько различающиеся значения. При этом функция =КВАРТИЛЬ, использовавшаяся ранее соответствует, современной функции =КВАРТИЛЬ.ВКЛ. Для расчета квартилей в Microsoft Excel с помощью вышеприведенных формул массив данных можно не упорядочивать.

В анализе статистических данных нередко используется так называемый квартильный размах – это разница между 3-м и 1-м квартилями, т.е. . Эта величина позволяет оценить разброс 50% элементов в распределении случайной величины и не учитывать влияние экстремальных элементов. У квартильного размаха есть одно важное и полезное для анализа данных свойство: он является робастным, т.е. не зависит от аномальных отклонений, не зависит от выбросов данных.

Децили – это значения признака, которые ранжированный ряд распределения делят на 10 равных частей. Расчеты ведутся аналогично расчетам квартилей: , что означает выполнение соотношения . При этом децили не совпадают с квартилями, кроме второго или медианы, когда это совпадение есть: . Аналогично квартильному нередко используют децильный размах: . Децильный размах в распределении доходов населения показывает, например, долю тех, кто имеет средние доходы – не бедствует, но и не является очень богатым.

В некоторых случаях вместо децилей используют процентили. Перцентили – это значения признака, делящие ранжированный ряд распределения на 100 равных частей. Все вычисления аналогичны вычислениям децилей и квартилей: . Процентили позволяют вычислять как квартильный размах: , так и децильный размах: .

Нужно ли использовать квантили и какие именно, определяется, как правило, спецификой задачи анализа данных и опытом исследователя.