Вероятность отклонения значения нормальной случайной величины от математического ожидания 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вероятность отклонения значения нормальной случайной величины от математического ожидания



В тех случаях, когда промежуток значений нормальной случайной величины располагается симметрично относительно её математического ожидания, можно говорить о вычислении вероятности отклонения значения нормальной случайной величины от её математического ожидания. Это частный случай вычислений, описанных в предыдущем пункте, но этот частный случай используется достаточно часто, а формула вероятности получается проще. Поэтому опишем формулу для этого случая специально.

Обозначим через максимально возможное отклонение от математического ожидания нормальной случайной величины . Тогда в формулах предыдущего пункта можно обозначить , а . Тогда двойное неравенство можно записать как , а это неравенство эквивалентно такому: . Геометрическим смыслом этого неравенства и является ограничение отклонения значения от не более чем на , потому что модуль разности показывает расстояние между соответствующими точками на действительной оси, т.е. между и .

Тогда вероятность отклонения от математического ожидания по формуле предыдущего пункта будет вычисляться так: , где - это стандартное отклонение нормальной случайной величины.

В результате для вероятности отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания меньше, чем на , получилась такая формула:

.

Из этой формулы, в частности, следует, что чем меньше заданная граница максимально возможного отклонения от математического ожидания , тем меньше вероятность такого отклонения, потому что функция возрастающая, и меньшим значениям аргумента соответствуют её меньшие значения. Аналогично, чем меньше стандартное квадратичное отклонение нормальной случайной величины от её математического ожидания, тем больше вероятность попадания её значений в интервал .

Пример. Определить вероятность того, что нормальная случайная величина будет отклоняться от своего математического ожидания меньше, чем на 1) - стандартное отклонение, 2) и 3) .

1) Вероятность отклонения значений нормальной случайной величины от своего математического ожидания меньше, чем на одно стандартное отклонение равна . Т.е. такая вероятность более 2/3.

2) Вероятность отклонения значений нормальной случайной величины от своего математического ожидания меньше, чем на два стандартных отклонения равна . Т.е. такая вероятность около 96%, что можно считать достоверностью в большинстве случаев.

3) Вероятность отклонения значений нормальной случайной величины от своего математического ожидания меньше, чем на три стандартных отклонения равна . Т.е. такая вероятность более 99%, около 100%, что практически всегда можно считать достоверностью.

Вычисления этого примера обосновывают правила «двух сигм» и «трёх сигм», представленные выше на графике плотности нормального распределения. Если случайная величина распределена по нормальному закону, а на практике – близко к нормальному закону, то почти все её значения отклоняются от её математического ожидания не более чем на три стандартных отклонения. Это правило «трёх сигм». А по правилу «двух сигм» такая случайная величина отклоняется от своего математического ожидания не более чем на два стандартных отклонения с вероятностью менее 5%, т.е. достаточно малой в психологических и социологических исследованиях.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 4060; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.166.223.204 (0.005 с.)