Понятие функции в математике

Нестрогое определение функции может быть таким: функция – это «закон», по которому каждому элементу из некоторого множества ставится в соответствие единственный элемент из множества . При этом возможно, чтобы разным элементам из множества ставились в соответствие одинаковые элементы из множества . Но невозможно, чтобы одному элементу из множества соответствовало два или более элемента из множества .

Более точно функция в математике определяется как упорядоченная совокупность трёх объектов: области определения , множества значений и отображения каждого элемента множества в один и только один элемент множества . Это отображение часто обозначают символом . Тогда отображение элемента из области определения в элемент из множества значений записывают или . Эту последнюю запись можно интерпретировать так: когда внутрь скобок после знака попадает значение , производится действие функции на свой аргумент (так называется этот элемент области определения ) и в результате этого действия получается значение уже в множестве значений функции. Следовательно, функция по своему закону переводит элементы области своего определения в элементы множества значений. При этом некоторые элементы множества значений функции могут не иметь своих прообразов в области определения, т.е. им может не соответствовать ни один из элементов области определения. Но не допускается, чтобы в области определения функции были элементы, которые не имеют соответствующих по закону этой функции элементов в области её значений.

Понятие случайной величины

Нестрого можно определить случайную величину как величину, которая в результате опыта или эксперимента принимает одно из множества значений, а какое конкретно – заранее неизвестно.

Случайные величины обозначают большими латинскими буквами (X, Y, Z1, …), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x, y, z, …). Событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение x, по традиции, сложившейся в математике, будем отражать записью X = x. С левой стороны этого равенства стоит имя случайной величины, а справа – принимаемое ею значение. Вероятность этого события будем обозначать P{X = x}. Аналогично, P{X < x} – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем x. В некоторых случаях в таких записях вероятностей используют круглые скобки, тогда они получают вид: P(X=x) и P(X<x) соответственно.

Случайная величина вводится в теории вероятностей для того, чтобы можно было анализировать не только вероятности появления тех или иных результатов опытов или экспериментов, но и значения тех или иных характеристик этих результатов. Например, опыт может состоять в стрельбе из винтовки по мишени, а случайной величиной в таком случае может быть результат стрельбы, т.е. число выбитых стрелком очков.

С одним и тем же случайным событием может быть связано несколько случайных величин. Например, с многократным подбрасыванием монеты могут быть связаны такие случайные величины: число выпавших гербов, число выпавших орлов, превышение числа гербов над числом орлов, доля гербов или доля орлов в общем числе результатов опыта и т.п.

Следовательно, случайная величина – это числовая характеристика тех или иных свойств случайных событий. В первой части курса теории вероятностей и математической статистики мы изучали только одну характеристику случайных событий – их вероятности. Случайные величины позволяют изучать много других важных для исследователей и аналитиков их характеристик, которые являются числовыми.

Для анализа значений случайных величин, поскольку они являются числовыми, во многих случаях можно использовать методы математического анализа и некоторых других разделов математики. Следовательно, введение в теорию вероятностей понятия случайной величины расширяет возможности применения в теории вероятностей методов математики, которые хорошо отработаны в других её разделах.

Более формальное определение случайной величины является таким. В первой части курса вводилось понятие вероятностного пространства. Напомним, что совокупность объектов , где - универсальное множество событий, - -алгебра событий для этого универсального множества, а - вероятность (вероятностная мера на -алгебре событий ), называется вероятностным пространством.

Случайной величиной на вероятностном пространстве называется функция с областью определения и со значениями в области действительных чисел (это её множество значений). Закон отображения для случайной величины может быть только таким, чтобы для любого числа каждое множество , состоящее из элементов , для которых , входило в -алгебру событий . Символически это утверждение можно записать так: для любого числа должно выполняться условие: .

По определению, все элементы -алгебру событий являются случайными событиями. Для краткости в дальнейшем мы будем иногда записывать случайное событие – подмножество универсального множества , определяемое неравенством на свои элементы , как , а вероятность такого случайного события – как .

Поскольку является случайным событием, противоположное ему событие тоже является случайным.

Типы случайных величин

По типам случайные величины принято делить на дискретные, непрерывные и на величины смешанного типа. Случайная величина, определённая на конечном (дискретном) вероятностном пространстве, называется дискретной. Значения такой случайной величины всегда отделены друг от друга на числовой прямой какими-то промежутками без значений функции – случайной величины. Например, такими являются результаты стрельбы по мишени, подбрасываний монеты и т.п. В математике допускается как конечное, так и бесконечное, но счётное (которое можно перенумеровать натуральными числами: 1, 2, 3, и т.д. до бесконечности) множество значений дискретной случайной величины.

Случайные величины, значения которых сплошь заполняют какие-то промежутки значений на числовой прямой, называются непрерывными. Все значения непрерывной случайно величины невозможно перенумеровать натуральными числами. Примерами таких случайных величин являются изменения атмосферного давления в зависимости от времени, время ожидания общественного транспорта пассажирами на остановках и т.п. Ниже будет дано уточнение понятия непрерывной случайной величины.

Случайная величина смешанного типа кроме непрерывного множества своих возможных значений имеет ещё возможные значения, изолированные от этого множества, не заполняющие никаких промежутков на числовой прямой, которые можно перенумеровать натуральными числами.