Аксиомы алгебры случайных событий

Пусть - непустое множество, которое включает все возможные исходы некого опыта, эксперимента. Эти исходы называются элементарными, они являются элементами множества , а само множество называется универсальным. Таким образом, элементарными событиями называются все возможные и взаимоисключающие исходы в том или ином опыте, а множество всех элементарных событий составляет универсальное множество , которое иногда называют пространством элементарных событий для данного опыта.

Логические объединения элементарных событий составляют все другие события из универсального множества . Иначе говоря, любое подмножество множества называется случайным событием или просто событием. Каждое событие содержит, таким образом, некоторые или как само множество все элементарные события в качестве своих элементов.

Пример. При бросании игральной кости, представляющей собой кубик с нанесёнными на его грани от одного до шести углублений, элементарными событиями можно считать шесть. Этими событиями будут выпадение граней кубика с 1, 2, 3, 4, 5 или 6 углублениями. А, например, составными событиями или просто событиями будут выпадение чётного числа на грани, числа, делящегося на три, числа, не превышающего 4, и т.п.

На множестве событий можно определить алгебру событий. Алгеброй событий называется любое множество подмножеств универсального множества, если для этого множества подмножеств универсального множества выполняются следующие аксиомы ( - это множество подмножеств универсального множества , которое становится алгеброй, если в нём вводятся соответствующие аксиомы):

А1. Универсальное множество принадлежит этому множеству подмножеств: .

А2. Если события и входят в множество подмножеств , то в это множество подмножеств входит их объединение, т.е. , и их пересечение .

А3. Если события входит в это множество подмножеств , то в него входит и противоположное событие: если , то .

Выполнение этих аксиом гарантирует, что результаты операций над событиями не выводят за пределы алгебры событий.

Следствие из аксиом. Пустое множество входит в алгебру событий, т.к. пустое множество – это противоположное к универсальному событие: . А противоположное событие входит в алгебру событий.

В теории вероятностей принято записывать объединение событий как их сумму, т.е. считать, что , а пересечение событий записывать как их произведение, т.е. считать, что . Знак умножения, как это принято в алгебре, в последнем равенстве не поставлен.

В теории вероятностей в некоторых случаях используется и так называемая разность событий. Разностью событий и называется событие , которое осуществляется тогда и только тогда, когда событие происходит, а событие не происходит. Событие можно ещё назвать теоретико-множественной разностью, чтобы такую операцию отличать от обычной разности чисел, её обозначают косой чертой: .

В алгебре событий действуют обычные операции над множествами, поэтому и законы или аксиомы выполнения этих операций тоже обычные – коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность:

A4. – коммутативность, перестановочность.

A5. - ассоциативность.

A6. –дистрибутивность.

Совокупность всех 6 аксиом, представленных в этом разделе, определяет алгебру событий.