Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Условная вероятность, независимые события и формула умножения вероятностей
Условной вероятностью события A по отношению к событию B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Обозначается такая условная вероятность как P(A|B), а читается – так: «P от A при условии B». Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности, потому что тоже является вероятностью. В частности, . Отметим также, что если B ⊂ A, то P(A|B) = 1, потому что при осуществлении B как части множества A событие A обязательно осуществляется через элементарные события, входящие в B. Кроме того, если , то P(A|B) = 0, потому что при осуществлении события B событие A никак не может осуществиться, ведь у A и B нет никаких общих элементарных событий. Вероятность произведения событий выражается через условную вероятность: . Поскольку значение вероятности не изменится при смене порядка написания произведения событий AB=BA, то получается, что . Эта формула называется формулой умножения вероятностей. Из неё можно получить формулу для вычисления условной вероятности: . И аналогично из первого варианта этой формулы умножения вероятностей получается, что . Докажем формулу умножения вероятностей для классического определения вероятностей. Вероятность произведения событий по классическому определению – это , где N – это общее число возможных исходов опыта, а NAB – число благоприятных таких исходов. Условную вероятность можно представить так: , потому что это вероятность при условии, что событие B произошло, т.е. при общем числе исходов NB. А благоприятных исходов здесь будет NAB, потому что произошло и событие A, и событие B. Ведь событие A осуществилось при условии осуществления и события B. Преобразуем формулу, разделив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же число NB, не равное нулю, что не изменит значения этой дроби: . В этой формуле первая дробь – это условная вероятность , а вторая дробь – это обычная, безусловная вероятность . В результате получаем: , т.е. один из вариантов формулы умножения вероятностей. Необходимо помнить, что формула умножения вероятностей может быть доказана и для любых других определений вероятности. Как правило, для этих целей проводят одно доказательство для аксиоматического определения вероятности, т.е. её общего математического определения, из которого следуют доказательства и для всех других определений вероятности, согласованных с этим аксиоматическим. Но такое доказательство сложнее, и по этой причине здесь не приводится.
Если условная вероятность совпадает с безусловной вероятностью, т.е. , то события A и B называются статистически независимыми событиями. Это значит, что вероятность осуществления события A не зависит от того, произошло или нет событие B. В противном случае, когда , события A и B называются статистически завиcимыми событиями. Можно доказать, что статистическая зависимость или независимость является взаимной, т.е. если , то и . Действительно, , а . Если эти вероятности равны , то можно применить свойства пропорции и получить равенство произведений их числителей на знаменатели: из получается . Разделив обе части этого равенства на N, а потом на NA, получаем: , т.е. что . Если события A и B статистически независимы, то из формулы умножения вероятностей получаем: , потому что для независимых событий . Следовательно, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: . Несовместность событий и их независимость – это разные свойства событий. Например, если несовместные события имеют ненулевые вероятности, то они зависимы. Действительно, если события A и B несовместны, то они не могут осуществиться одновременно, а потому вероятность их произведения равна нулю: . И, если бы события A и B были независимы, то была бы верна формула: . Но при ненулевых значениях вероятностей и их произведение не может быть равно нулю. Следовательно, события A и B в таких условиях должны быть зависимы. Пример. Вероятность выпадения «герба» или «решки» при подбрасывании монеты равняется 1/2. Но вероятность их одновременного выпадения равна нулю, поскольку они несовместны. Значит эти события зависимы, т.е. статистически связаны между собой. Пример. В урне находится 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад в урну они оба раза не возвращаются. Найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми. Благоприятным событием A в этом примере является появление двух белых шаров из урны. Это событие является произведением двух событий: A1 – первый вынутый шар белый и A2 – второй вынутый шар белый. Тогда можно вычислить вероятность благоприятного события: . Вычислим вероятности, составляющие сомножители этого произведения. Для события A1 благоприятных исходов 2 (можно вынуть первый или второй белый шар), а всего исходов – 5 (потому что столько всего шаров в урне). Поэтому . При вычислении второй, уже условной вероятности, необходимо учесть, что один белых шар уже вынут из урны, поэтому благоприятных событий будет 1 (в урне остался один белый шар). А всего событий при второй выемке шара будет 4, потому что столько шаров после выемки первого шара в этой урне осталось. Поэтому . Тогда по формуле произведения вероятностей получаем: .
Вероятность похожего события B будет иной, если при такой же выемке шаров их потом снова возвращают в урну, просто фиксируя, какого цвета был вынутый шар. Если событие B в этой новой ситуации будет тоже состоять в том, что будут вынуты два белых шара, то выемка каждого из них будет осуществляться независимо от другого. Тогда снова событие B является произведением двух событий: A1 – первый вынутый шар белый и A2 – второй вынутый шар белый. Но теперь события A1 и A2 являются независимыми друг от друга. Поэтому . И теперь вероятности обоих событий A1 и A2 будут одинаковыми и равными , потому что благоприятных событий будет 2 (два шара в урне), а всего возможных событий 5 (всего шаров в урне). И тогда вероятность . Эта вероятность получилась несколько больше первой. Пример. Два стрелка одновременно, независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что в мишени окажется две пробоины? Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, событие B – попадание в мишень вторым стрелком, событие C – в мишени оказалось две пробоины, т.е. оба стрелка попали в мишень. Тогда C = AB, причём события A и B являются независимыми по условию задачи. Следовательно, вероятность .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 1450; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.127.141 (0.006 с.) |