Линейные однородные системы дифф.ур.

Линейной однородной системой наз. Нормальная линейная система д.у. вида =A(x)y (1), где А(х)-заданная непрерывная на [α;β] квадратная матрица порядка n,(а в некоторых случаях комплекснозначная).

Решениями данной системы будут некоторые вектор-функции с компонентами определёнными на [α;β]. Непосредственным образом проверяются следующие утверждение наз. принципом суперпозиции для системы (1).

Лемма 1: Если у1 и у2 есть решение системы (1), а С1 и С2-произвольные числа, то вектор функция у=С1у1+С2у2, также будет решением исходной системы (1).

Опр.1:Вектор-функции у1,…,ук наз. линейно зависимыми на промежутке I, если найдутся такие числа С1,…,Ск одновременно не равные нулю, что имеет место тождество С1у1+…+Скук=0, в противном случае данные вектор-функции наз. линейно независимыми на промежутке I.

Лемма 2: Если вектор-функции j=1,..,k линейно зависимы на промежутке I, то при всех ϵ I числовые векторы (), j=1,..,k также линейно зависимы.

Обратное утверждение вообще говоря неверно.

Т.1: Пусть j=1,..,k есть решение системы (1).Тогда данные решения j=1,..,k линейно независимы на [α;β] тогда и только тогда, когда для всякого ϵ [α;β] числовые векторы (), j=1,..,k линейно независимы.

Следствие 1: Решения j=1,..,k системы (1.27) линейно зависимы на [α;β] тогда и только тогда, когда линейно зависимы числовые векторы (), j=1,..,k.

Опр.2:Любая система n линейно независимых решений системы (1.27) на [α;β] назыв.фундаментальной системой решений(ФСР) этой системы.

Т. 2: Для системы (1) существует бесконечное множество ФСР.

Т.3: Если есть ФСР системы (1), то каждое решение y этой системы единственным образом представимо в виде , где -некоторые числа.

Рассмотрим начальные условия ϵ [α;β] (2).

Решение y каждой задачи Коши (1), (2) однозначно определяется с помощью вектор-функции (3), где -произвольные параметры.

(3)- общее решение системы (1).

Опр.3: Матрицу Ф(x) у которой столбцы образуют ФСР системы (1) будем назыв. фундаментальной матрицей этой системы.

Тогда общее решение (1) y(x)=Ф(x) C.

Рассмотрим на [α;β] матричные дифф.ур. (4) с неизвестной квадратной матрицей Y(x).

Пусть . Отсюда видно, что матрица тогда и только тогда будет решением ур. (4), когда её вектор-столбцы являются решениями системы (1). Значит фундаментальная матрица Ф(x) является решением уравнения (4). В силу не вырожденности фунд.матрицы получаем, что общее решение ФСР , где С- произвольная квадратная матрица порядка n.

Имеем, что произвольная фунд.матрица системы (1) имеет представление .

Решение матричного дифф.ур.(4) с начальными условиями где I – единичная матрица назыв. матрицантом системы (4).

Матрица является матрицантом дифф.системы (1).

Опр.4: Определителем Вронского системы вектор-функций с n компонентами определёнными на [α;β] будем наз.следующий определитель

.

Т.4: Решение системы (1) линейно зависимы на [α;β] тогда и только тогда, когда на этом отрезке имеет место тождество

Т.5: Решение системы (1) линейно независимы на [α;β] тогда и только тогда, когда на этом отрезке Вронскиан W(x) не обращается в нуль.

Т.6: Пусть W(x) есть Вронскиан решений и точка ϵ [α;β]. Тогда имеет место формула Лиувиля-Остроградского

(5), где

- след матрицы A(x).