Линейные однородные дифференциальные уравнения n порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное д.у. n порядка с постоянными коэффициентами (1.25). Здесь , ј= есть вещественные числа. Введем символический оператор , который обозначает дифференцирование по переменной x. При этом представим производные как степени оператора . Будем считать, что при ј=0 степень данного оператора равна самой фу-ии (1.25). Левую часть можно записать в виде +…+ , где = . Очевидно, что есть многочлен степени n от оператора p. Это позволяет вместо д.у. 1.25. записывать операторное ура-ие (2.25). Будем искать частные решения д.у. 1. 25. В виде (3.25). Подставляя фу-ию 3.25. получаем, что = =0. Отсюда видно, что λ является корнем алгебраического ура-ия (4.25), то фу-ия 3.25 есть решение д.у. 1.25

Рассмотрим сначала случай, когда все корни 4.25 веще-ые и различные. Им соответ. n- решений ,

Непосредственным вычислениям убеждаемся, что данные фун-ии образуют фунд. Си-му решений ура-ия 1.25. Тогда общее решение исходного ура-ия 1.25 имеет вид +…+ (5.25), где – есть произвольная постоянная.

Пусть все корни харак. Ура-ия различны, но среди них есть комплексные. Тогда с учетом того, что коэфф-ты хар. ура-ия вещественны, приходим к выводу, что комплексные корни входят парами вида: , . Для комплексного корня ,комплексно значную фу-ию вещественного аргумента (6.25). Непосредственной проверкой убеждается, что данная фу-ия является решением ур-ия (1.25). Аналогичным образом приходим к выводу, что фу-ия = (7.25) также является решением ур-ия (1.25). Решение однородного ур-ия (1.25) обладают свойством линейности, поэтому вещественные фу-ии

, (9.25)

Так как частная , то данное решение является линейно-незав. Таким образом мы получили m-пар комплексно-сопряженных корней , хар. ур-ия 4.25 и n-2m различных вещественных корней , данного хар. ур-ия. Таким образом лбщее решение исходного ур-ия имеет вид (10.25)

Рассмотрим теперь случай кратных корней хар. ур-ия. Непосредственными вычислениями на основании мат. индукции можно получить формулу сдвига

(11.25).

В частности, когда многочлен L(p) представляет собой степень :

(12.25)

Рассмотрим сначало случай, когда λ есть веще-ый корень кратности k хар. ура-ия. Тогда имеет место цепочка соотношений:

Покажем, что ему соответствует ровно k линейно независимых решений.

Подставим данный k-решений в ура-ие 2.25 и применим формулу сдвига 11.25. В результате получаем соотношение

(13.25)

Где (14.25).

Полагая, что в полученной формуле р=0 получаем, что

Далее последовательно дифференцируя по р соотношение 14.25 и полагая, получим соотношение р=0, получаем след. формулы

Тогда, на основании формулы 14.25 получаем, что . Так как r<k отсюда следует

 

В итоге, из соотношения 13.25 получаем, что

Это означает, что фу-ия
является решением ура-ия 2.25 В итоге приходим к выводу, что каждому вещественному корню кратности линейно независимых частных решений исходного д.у. и при этом таким образом мы получаем на основании данных корня равно n-функций, образующих фундаментальную си-му решений ура-ия 2.25. Поэтому в данном случае общее решение исходног д.у. имеет вид.

+ …+ .