Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим систему где вещественная матричная функция Р удовлетворяет следующему условию

Такие матричные функции – периодическими с периодом или Результаты, которые мы получим в этом параграфе образуют основу теории Флоке-Ляпунова.

Теорема 1.31. Каждую фундаментальную матрицу системы (1.31) можно представить в виде Ф(t)=G(t)e^tR(2.31),где G(t)- -периодическая матрица для , R- постоянная матрица.

Матрица В определенная формулой Ф(t+ )=Ф(t)*В (3.31)- матрицей монограмм. Она определяется фундаментальной матрицей системы(1.31), которая находится неоднозначно.

Пусть Ф₁(t) есть какая-либо другая фундаментальная матрица системы(1.31). На ее основе определяем другую матрицу монограммии в виде Ф₁(t+ )=Ф₁(t)*B,

Кроме того учтем связь между двумя фундаментальными матрицами системы (1.31) в виде Ф₁(t)=Ф(t)*S, dtS , .

Сравнивая последнее соотношение (3.31) получаем, что В=SB₁S^-1, где S^-1- матрица обратная к матрице S, таким образом мы получим, что все матрицы монограммии системы(1.31) подобны между собой. Отметим, что иногда матрицу монограммии – матрицу, которая определяется нормированной при t фундаментальной матрицей Ф(t) системы(1.31) (0)= . Тогда на основании соотношения (3.31) получаем, что В= (

Рассмотрим собственные числа матрицы монограммии, они называются мультипликаторами системы(1.31).

Кроме того собственные числа постоянной матрицы R из теоремы 1.31 называются характеристическими показателями системы(1.31).

Из определения постоянной матрицы R имеем, что , j= .При этом простым мультипликатором соответствуют простые характеристические показатели, а кратным мультипликатором соответствуют характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Отметим также, что характеристические показатели определены с точностью до слагаемого

На основание формулы (4.31) и формулы Лиувиля - Остроградского получаем, что определитель матрицы В:

detВ=exp .

На основание последнего соотношения получаем, что

(5.31).

Заметим, что название мультипликатор(множитель) объясняется следующим утверждением.

Теорема2.31. Число является мультипликатором системы(1.31) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этой системы такое, что .

Следствие 1.31. Для того чтобы система (1.31) имела хотя бы одно нетривиальное периодическое решение необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из его мультипликаторов был равен 1.

Из формулы (2.31) вытекает, что фундаментальная матрица система (1.31)представляет собой произведение не особой матрицы G(t) на фундаментальную матрицу с постоянными коэффициентами. Поэтому можно ожидать, что преобразование X=G(t)*y (8.31) переводит систему (1.31) в систему (8.31).В самом деле на основании формулы(8.31) получаем (9.31). Так как G=Ф(t)*e^-tR,то получаем

Подставляя последнее выражение в формулу (9.31) получаем систему

Таким образом мы получаем следующее утверждение.

Теорема3.31. Существует линейная замена переменных (8.31), где G(t) есть не особая гладкая периодическая матрица переводящая систему(1.31) в линейную систему с постоянной матрицей коэффициентов собственные числа которой есть характеристические показатели системы(1.31).

Данное свойство системы (1.31)- приводимостью.