Квазилинейное уравнение в частных производных 1-го порядка.

Опр.5,20 Квазилинейным диф. уравнением 1-го порядка с частными производными будем называть уравнение ,

где и есть функции гладкие в некоторой области из .

 

Процесс нахождения общего решения д.у. (14.20) аналогичен нахождению общего решения неоднородного д.у. 1.20. Сначала строим систему уравнений характеристик в виде:

Интегральные кривые этой системы называют характеристиками квазилинейного д.у (14.20), если в области G найдены n независимых первых интегралах , то все решения д.у. (14.20) можно получить из формулы (13).

Постановка задачи Коши для квазилинейного уравнения (14.20) аналогично постановке этой задачи для однородного уравнения , при практическом решении задачи Коши будем использовать следующий алгоритм

Пусть решение д.у (14.20) удовлетворяет условию на поверхности S заданным уравнением .

Сначала находим первые интегралы системы уравнений характеристик (15.20) при этом мы рассматриваем интегралы независимые в области G. Далее исключаем из системы уравнений

Переменные ,u. В результате получаем равенство вида

В соотношении (17.20) подставляем выражение

В результате получаем решение исходного уравнения в неявном виде .

 

Уравнение Пфаффа.

Уравнение Пфаффа (П) представляет собой обобщение д.у.первого порядка в симметрической форме и в трехмерном случае имеет вид P(x,y,z)dx+Q(х,у,z)dу+R(х,у,z)dz=0 (1),где Р,Q,R есть некоторые функции, гладкие по своим аргументам в области G .

Интегралом уравнения П(1) будем наз.такую зависимость переменных х,у,z при которой дифференциалы dx,dy,dz обращают уравнение (1) в тождество на области G.Если указанная зависимость представима в виде: u(х,у,z)=0 (или в параметрическом виде х =х(u,v),у=у(u,v),z=z(u,v)),то ее будем наз. двумерным интегралом или интегральной поверхностью ур.П(1). Если же интеграл ур. П представим в виде: u(х,у,z)=0,v(х,у,z)=0 (или в параметрическом виде х=х(t),у=у(t),z=z(t)),то такую зависимость между переменными х,у,z будем наз. одномерным интегралом или интегральной кривой(1).

Рассмотрим в пр-ве Охуz векторное поле (P(x,y,z),Q(х,у,z), R(х,у,z))= (х,у,z). Если двумерный или одномерный интеграл ур.(1) задан векторным ур.: = (х,у,z)=х +у +z ,то имеет место соотношение: d = + + . Здесь dx,dy,dz в силу определения интеграла ур.П вычислены с учетом существующей зависимости между переменными х,у,z.Поэтому ур.П(1) можно записать в следующей векторной форме: (х,у,z) d (х,у,z)=0. (2). Исходя из геометрического смысла равенство нулю скалярного произведения 2 векторов, приходим к выводу,что если П есть интегральная поверхность ур.(2), то векторное поле F в каждой точке этой пов-сти ортогональна,касательной плоскости поверхности П в данный точке.Таким образом пов-сть П есть нормальная пов-сть характер.поля F.Аналогическим образом приходим к выводу, что есть L -интегральная кривая ур.П(1), то в каждой точке этой линии векторное поле F ортогонально касательной линии кривой L данной точки.Для векторного поля F введем вспомогательное векторное поле образованное с помощью определителя третьего порядка: rоt = , данное векторное поле будем наз.ротором векторного поля

Т.1. Условие rоt =0, (х,у,z) G(3) является необходимым для существования двумерных интегралов ур.П(1) в области G.

В координатной форме ур.П имеет вид: P( - )+Q( - )+R( - )=0(4).