Линейные однородные уравнения в частных производных 1-го порядка.

Линейные однородные уравнения в частных производных 1-го порядка.

Опр.1: Линейным неоднородным дифф. ур. 1-го порядка с частными производными будем назыв. уравнение вида

, (1)

Где , b – есть заданные гладкие функции n переменных в области , u – искомая функция.

Опр.2: При в области G уравнение (1) назыв. линейным однородным дифф.ур. 1-го порядка с частными производными:

(2).

Опр.3: Решением дифф.ур-й (1) и (2) в области D будем назыв.гладкую в области D функцию, которая обращает это уравнение в равенство в каждой точке .

Подставим в соответствие однородному уравнению (2) систему обыкновенных дифф.ур-й:

(3).

Так как , то систему (3) можно представить в симметрической форме:

(4)

Опр.4: Систему (3) будем назыв.системой уравнений характеристик для однородного дифф.ур. (2), а её фазовые траектории – характеристикой.

Т.1:Функция является решением однородной системы (2) в области D тогда и только тогда, когда она есть первый интеграл системы характеристик (3).

 

 

 

Квазилинейное уравнение в частных производных 1-го порядка.

Опр.5,20 Квазилинейным диф. уравнением 1-го порядка с частными производными будем называть уравнение ,

где и есть функции гладкие в некоторой области из .

 

Процесс нахождения общего решения д.у. (14.20) аналогичен нахождению общего решения неоднородного д.у. 1.20. Сначала строим систему уравнений характеристик в виде:

Интегральные кривые этой системы называют характеристиками квазилинейного д.у (14.20), если в области G найдены n независимых первых интегралах , то все решения д.у. (14.20) можно получить из формулы (13).

Постановка задачи Коши для квазилинейного уравнения (14.20) аналогично постановке этой задачи для однородного уравнения , при практическом решении задачи Коши будем использовать следующий алгоритм

Пусть решение д.у (14.20) удовлетворяет условию на поверхности S заданным уравнением .

Сначала находим первые интегралы системы уравнений характеристик (15.20) при этом мы рассматриваем интегралы независимые в области G. Далее исключаем из системы уравнений

Переменные ,u. В результате получаем равенство вида

В соотношении (17.20) подставляем выражение

В результате получаем решение исходного уравнения в неявном виде .

 

Уравнение Пфаффа.

Уравнение Пфаффа (П) представляет собой обобщение д.у.первого порядка в симметрической форме и в трехмерном случае имеет вид P(x,y,z)dx+Q(х,у,z)dу+R(х,у,z)dz=0 (1),где Р,Q,R есть некоторые функции, гладкие по своим аргументам в области G .

Интегралом уравнения П(1) будем наз.такую зависимость переменных х,у,z при которой дифференциалы dx,dy,dz обращают уравнение (1) в тождество на области G.Если указанная зависимость представима в виде: u(х,у,z)=0 (или в параметрическом виде х =х(u,v),у=у(u,v),z=z(u,v)),то ее будем наз. двумерным интегралом или интегральной поверхностью ур.П(1). Если же интеграл ур. П представим в виде: u(х,у,z)=0,v(х,у,z)=0 (или в параметрическом виде х=х(t),у=у(t),z=z(t)),то такую зависимость между переменными х,у,z будем наз. одномерным интегралом или интегральной кривой(1).

Рассмотрим в пр-ве Охуz векторное поле (P(x,y,z),Q(х,у,z), R(х,у,z))= (х,у,z). Если двумерный или одномерный интеграл ур.(1) задан векторным ур.: = (х,у,z)=х +у +z ,то имеет место соотношение: d = + + . Здесь dx,dy,dz в силу определения интеграла ур.П вычислены с учетом существующей зависимости между переменными х,у,z.Поэтому ур.П(1) можно записать в следующей векторной форме: (х,у,z) d (х,у,z)=0. (2). Исходя из геометрического смысла равенство нулю скалярного произведения 2 векторов, приходим к выводу,что если П есть интегральная поверхность ур.(2), то векторное поле F в каждой точке этой пов-сти ортогональна,касательной плоскости поверхности П в данный точке.Таким образом пов-сть П есть нормальная пов-сть характер.поля F.Аналогическим образом приходим к выводу, что есть L -интегральная кривая ур.П(1), то в каждой точке этой линии векторное поле F ортогонально касательной линии кривой L данной точки.Для векторного поля F введем вспомогательное векторное поле образованное с помощью определителя третьего порядка: rоt = , данное векторное поле будем наз.ротором векторного поля

Т.1. Условие rоt =0, (х,у,z) G(3) является необходимым для существования двумерных интегралов ур.П(1) в области G.

В координатной форме ур.П имеет вид: P( - )+Q( - )+R( - )=0(4).

Метод функции Ляпунова.

Рассмотрим нормальную обыкновенную систему ДУ (1) С непрерывной правой частью, определенной при Кроме того будем считать, что система (1)имеет нулевое решение x

Пусть есть непрерывно дифференцируемые скалярные функции, положительные при х и обращаются в ноль при х=0.

Теорема1. (теор. Ляпунова об устойчивости) Если сущ. Функция v для которой выполняются соотношения: (2)

То нулевое решение системы (1) устойчиво.

Функция удовлетворяющее условию (2) наз. функциями Ляпунова

Следствие1. Если система (1) имеет автономный (стационарный, независящий от времени , певый интеграл v положительный в некоторой проколотой окрестности точки х=0 и v(0)=0 то нулевое решение системы (1) устойчиво.

Теорема2 (теор. Ляпунова об асимптотический устойчивости)Если сущ. ф-ий v и w такие, что выполняются соотношения , (3)

То нулевое решение системы (1) асимптотический устойчиво.

Теорема3. (теор. Ляпунова о неустойчивости) Если сущ. ф-ий v и w такие,что , (4) То нулевое решение системы (1) не устойчиво.

Систему (1) вида , будем наз. квазилинейной (системой с ведущей линейной частью) если равномерно при

При этом автономную линейную систему будем наз. линеаризацией системы (5) вдоль нулевого решения.

Теор4. (об устойчивости) Если линеаризация (6) асимптотически устойчива, то асимптотически устойчива и нулевое решение квазилинейной системы (5)

Следствие 2 Если вектор-ф-ия f(x) непрерывно диф-ма в окрестности т. х=0, где все характеристические числа матрицы Якоби имеют отрицательные действительные чисти, то нулевое решение автономной системы асимптотически устойчиво.

Теор5 (о неустойчивости) Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную действительную часть, то нулевое решение квазилинейной системы (5) не устойчиво.

 

Автономные системы.

Рассмотрим автономную систему (1), где вектор-функция f(x) определена на всем пространстве и удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументом в каждой ограниченной части пространства .

Тогда при начальном условии существует и единственно решение системы (1) определенная в некоторой окрестности точки t=0.

Это решение рассматривается как закон движения точки в пространстве .

При этом точка x описывает некоторую траекторию зависящая от выбора начальной точки .

При законе движения x=x(t) вектор скорости определяется по формуле . Поэтому автономная система (1) задает поле скоростей (направлений) в фазовом пространстве . Это означает, что каждой точке x из фазового пространства ставится в соответствие вектор .

Специфика автономной системы (1) у которой в правую часть не входит время t состоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с течением времени, т.е. является стационарным.

При продолжении решения вправо, т.е. в сторону возрастания t, возможны 2 ситуации:

1) решение может быть продолжено на всю полуось ;

2)при приближении конечному t, (т.е. решение уходит на бесконечность).

Далее будем считать, что всегда имеет место первая ситуация. Покажем, что это ограничение не уменьшает общности. В самом деле вместе с системой (1) рассмотрим автономную систему

(2), где скалярная функция и удовлетворяет тем же условиям, что и вектор-функция f(x). Эта система обладает теми же траекториями, что и система (1), отличается только скорости прохождения по эти траекториям.

Поэтому можно подобрать скалярную функцию r так, чтобы скорость движения определяемая системой (2) была ограниченной. В этом случае движущаяся точка не может уйти в бесконечность за конечное время, т.е.2-ая ситуация не возможна.

Для каждой точки данная вектор-функция дает решение системы (1), поэтому выражение (3) определяет точку в которую перемещается точка за момент времени t.

Вектор-функция (3) обладает следующими свойствами:

1) она непрерывна по совокупности переменных;

2)

3) .

Из свойства 2),3) вытекает, что при фиксированных параметрах t отображение , пространства на себя являются взаимно обратным.

Свойство: Если две траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соответствующие решения отличаются лишь сдвигом по времени.

Т.1: Решение x(t) системы (1) может быть только одного из следующих трёх видов:

1) непериодическое, для которого при ;

2)периодическое для которого найдется такая постоянная T (период), что ,а при ;

3) постоянное, для которого

Траектории соответствующие 1-му виду назыв. незамкнутыми; 2- замкнутыми; 3- точкой покоя или состоянием равновесия.

 

Интегрирующий множитель

Рассмотрим ур-ние (1), где на области G.

Опр.1: Непрерывно диффер. и не обращающийся в ноль на области G будем назыв. интегрирующим множителем ур-ния (1), если на обл. G ур-ние явл. ур-нием полных диф-лов, если для ур-ния (1) существуетет интегр-щий множитель Q, то в силу он должен удолетв. соотношению:

На основании его получаем диф. ур-ние частных производных для определ. ф-ции :

(2).

Решение данного диф-ного ур-ния не проще, чем решение исходного диф-ного ур-ния (1).

Отметим, что нас интересует лишь какое-либо решение ур-ния (1).

На практике данное решение можно найти из каких-либо особенностей инт-щего множителя. Чаще всего его ищут либо , либо , тогда ур-ние (2) для нахождения ф-ции упрощают.

В некотором случае решение диф. ур-ний вида (1) можно применять метод выделения полных диф. используя известные ф-лы:

Если в диф-ном ур-нии (1) можно выделить полный диф-ал в некоторой ф-ции , то иногда данное уравнение можно упростить выполнив замену .

Линейные однородные уравнения в частных производных 1-го порядка.

Опр.1: Линейным неоднородным дифф. ур. 1-го порядка с частными производными будем назыв. уравнение вида

, (1)

Где , b – есть заданные гладкие функции n переменных в области , u – искомая функция.

Опр.2: При в области G уравнение (1) назыв. линейным однородным дифф.ур. 1-го порядка с частными производными:

(2).

Опр.3: Решением дифф.ур-й (1) и (2) в области D будем назыв.гладкую в области D функцию, которая обращает это уравнение в равенство в каждой точке .

Подставим в соответствие однородному уравнению (2) систему обыкновенных дифф.ур-й:

(3).

Так как , то систему (3) можно представить в симметрической форме:

(4)

Опр.4: Систему (3) будем назыв.системой уравнений характеристик для однородного дифф.ур. (2), а её фазовые траектории – характеристикой.

Т.1:Функция является решением однородной системы (2) в области D тогда и только тогда, когда она есть первый интеграл системы характеристик (3).