Чисельне диференціювання та інтегрування

Аналітичні методи диференціювання не завжди можна використати на практиці. Так, якщо функція задана як таблиця своїх значень, то, використовуючи аналітичні методи, не можна знайти ні похідної, ні інтеграла цієї функції.

У багатьох випадках інтегрування функції, заданої за допомогою формули, або потребує значного об’єму роботи, або взагалі не можна виконати аналітично.

В усіх цих випадках результат можна отримати за допомогою чисельних методів.

Чисельне диференціювання. Нехай функція y (x) задана в рівновіддалених точках x_k, k = 0, 1, …, n відрізка [ a, b ] за допомогою значень y_k = f (x_k). Для знаходження на відрізку [ a, b ] похідних
y ¢, y ¢¢, …функцію y (x) наближено замінюють інтерполяційним багаточленом Ньютона, побудованим для системи вузлів х ₀, x ₁, …, x_n. Маємо:

де u = (x – x ₀): h; h = x_{k +1} – x_k.

Перемноживши біноми в чисельниках та врахувавши, що:

отримаємо:

Аналогічно можемо отримати:

Взагалі, так можна обчислити похідні будь-якого порядку. Щоб оцінити похибку обчислення похідних, необхідно взяти відповідну похідну від залишкового члена інтерполяційної формули Ньютона.

Чисельне інтегрування. Нехай для функції y = f (x) необхідно обчислити інтеграл:

(19)

Вибором кроку h = (b – a): n розділимо відрізок [ a, b ] на n
рівних частин рівновіддаленими точками x ₀ = a; x_k = x ₀ + kh,
k = 1, 2,..., n –1; x_n = x ₀ + nh = b. Нехай y_k = f (x_k).

Замінюючи функцію y = f (x) відповідним інтерполяційним багаточленом Лагранжа L_n (x), отримаємо наближену квадратурну формулу:

(20)

де

Нехай

(21)

u та w(u) були визначені при утворенні полінома Лагранжа. Тоді
A_k = (b – a) H_k і формула (20) матиме такий вигляд:

(22)

Константи H_k називаються коефіцієнтами Котеса. Очевидні властивості та H_k = H_n–k.

Формула трапецій. Застосовуючи формулу (20), якщо n = 1, отримаємо:

Звідси:

Це відома формула трапецій для наближеного обчислення визначеного інтеграла. Геометрично це означає, що площа криволінійної трапеції АА ¢ В ¢ В наближено дорівнює площі прямолінійної трапеції (рис. 10).

Рис. 10

Для обчислення інтеграла (19) проміжок інтегрування [ a, b ] ділимо на n рівних частин [ x ₀; x ₁], [ x ₁; x ₂], …, [ x_{n –1}; x_n ] і до кожного з них застосовуємо формулу трапецій. Припустимо, що h = (b – a): n, та позначимо y_k = f (x_k), k = 0, 1, …, n. Тоді можна записати:

звідки отримуємо загальну формулу трапецій:

(23)

Похибка формули (23):

Формула Сімпсона. З формули (21), якщо n = 2, знаходимо:

Звідки

Отримана формула називається формулою Сімпсона. Наближене обчислення визначеного інтегралу за цією формулою геометрично означає заміну кривої у = f (х) параболою y = L ₂(x), що проходить через три точки M ₀(x ₀, y ₀), M ₁(x ₁; y ₁) та M ₂(x ₂; y ₂) (рис. 11).

Рис. 11

Для обчислення інтеграла (19) поділимо відрізок [ a, b ] на n = 2 m частин. Нехай y_k = f (x_k) — значення функції y = f (x) для рівновіддалених вузлів a = x ₀, x ₁, …, x_n = b з кроком

Застосовуючи формулу Сімпсона до кожного подвоєного проміжку довжиною 2 h, отримаємо:

Звідси маємо вираз загальної формули Сімпсона:

Похибка загальної формули Сімпсона визначається за формулою: