Наближені обчислення функції. Використання рядів 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Наближені обчислення функції. Використання рядів



Числовий ряд:

å un = u 1+ u 2+...+ un +...

збігається, якщо існує границя послідовності його часткових сум:

,

де

Sn = u 1+ u 2+...+ un.

Звідси випливає, що

S = Sn + Rn,

де Rn залишок ряду, причому Rn ® 0, якщо n ®¥.

Для знаходження суми S ряду з заданою точністю e потрібно вибрати кількість доданків настільки великою, щоб справджувалася нерівність:

|Rn | < e.

Тоді часткову суму Sn наближено можна прийняти за точну суму S.

Дійсна функція ¦(x) називається аналітичною в точці x 0, якщо в деякому околі цієї точки функція розкладається в ряд Тейлора:

.

При x 0 = 0 отримуємо ряд Маклорена:

.

Нехай

Різниця Rn (x) = ¦(x) – Рn (x) називається залишковим членом та є помилкою при заміні функції ¦(x) багаточленом Рn (x).

Відомо, що

де 0 < q < 1.

Зокрема, для ряду Маклорена маємо:

Наприклад, обчислимо з точністю до 0,0001. Функція ex розкладається так:

звідки

.

Оцінимо залишковий член Rn (x). Маємо:

Якщо взяти n = 3, то Rn < 0,0001.

Тому = 1 + 0,2 + 0,02 + 0,00133» 1,2213.

Чисельні методи розв’язання алгебраїчних та трансцендентних рівнянь

Дано рівняння:

¦(x) = 0, (1)

де функція ¦(x) визначена та неперервна на деякому скінченному чи нескінченному інтервалі а < x < b. Будь-яке значення x, що перетворює функцію ¦(x) на нуль, тобто ¦(x) = 0, називається коренем рівняння ¦(x) = 0 або коренем функції ¦(x).

Наближене знаходження коренів зазвичай складається з двох етапів: відділення коренів, тобто встановлення якомога найвужчих проміжків [a, b], в яких міститься один, і тільки один корінь; уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого рівня точності.

Для відділення коренів скористаємося відомою з математичного аналізу теоремою.

Теорема 1.

Якщо неперервна функція ¦(x) набуває різних знаків на кінцях відрізка [ а, b ], тобто ¦(а) ¦(b) < 0, то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння ¦(x) = 0, тобто знайдеться хоча б одне число x Î [ а; b ], таке, що f (x)= 0.

Корінь x буде єдиним, якщо похідна ¦ ' (x) існує та зберігає один і той же знак всередині інтервалу [ а; b ].

Корені рівняння можна наближено визначати графічно, як абсциси точок перетину графіка функції у = ¦(x) з віссю ОХ. Часто буває вигідно рівняння (1) замінити рівносильним рівнянням
j(x) = y(x), де функції j(x) та y(x) простіші, ніж функція ¦(x). Тоді, побудувавши графіки функцій у = j(x) та у = y(x), шукані корені знаходять як абсциси точок перетину цих графіків.

Метод половинного поділу

Нехай дано рівняння (1) та ¦(а)¦(b) < 0. Поділимо відрізок [ а, b ] навпіл. Якщо , то x= (а + b): 2є коренем рівняння. Якщо то вибираємо ту з половин [ a; (a + b): 2] чи [(a + b): 2; b ], на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий, звужений відрізок [ a 1, b 1] знову поділимо навпіл та проводимо ті самі міркування. У результаті отримаємо на якомусь етапі чи точний корінь рівняння (1), чи нескінченну послідовність вкладених один в один відрізків [ а 1, b 1], [ а 2, b 2],..., [ аn, bn ] таких, що f (an) f (bn) < 0 та

Границя є коренем рівняння (1).

Очевидно, що та

Метод пропорційних частин (метод хорд)

Нехай для визначеності f (a) < 0 та f (b) > 0 і f' (x) > 0 (інші випадки зводяться до попереднього). Тоді крива буде опуклою вниз (рис. 9).

Рис. 9

Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої y = f (x) хордою, що проходить через точки А (a, f (a)), B (b, f (b)) та перетинає вісь ОХ у точці х 1.

Рівнянням хорди є:

Припускаючи, що y = 0 та х = х 1, отримаємо:

Через точки A 1(x 1, f (x 1)) та B (b, f (b)) проводимо хорду A 1 B, яка перетинає вісь ОХ в точці х 2. Знаходимо:

Продовжуючи процес, отримаємо:

(2)

Можна показати, що послідовність (хn) ® x при n ® ¥. В даному разі правий кінець відрізка [ a, b ], тобто відрізок [x, b ] залишався нерухомим.

Якщо f (a) > 0 та f (b) < 0, то нерухомим буде лівий кінець відрізка [ a, b ], тобто відрізок [ а, x], а послідовні наближення знаходять за формулою:

(3)

Взагалі, нерухомий той кінець відрізка, для якого знак функції f (x) збігається зі знаком другої похідної функції f¢¢ (x); послідовні наближення хn лежать по ту сторону від кореня, де знак функції f (x)протилежний знакові її другої похідної.

Крім вищеописаних, часто використовуються ще такі методи: метод Ньютона, або метод дотичних, який подібний до методу хорд, але замість хорд використовуються дотичні до кривої y = f (x) у точках Bi (або Ai); комбінований метод, який поєднує в собі метод хорд та метод Ньютона; метод ітерацій, в якому рівняння (1) замінюється рівнянням х = j(х), х 0 вибирається рівним деякому довільному значенню на інтервалі [ a, b ], а послідовність наближень будується за формулою хn = j(хn –1).



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 277; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.228.237 (0.01 с.)