Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Наближені обчислення функції. Використання рядів
Числовий ряд: å un = u 1+ u 2+...+ un +... збігається, якщо існує границя послідовності його часткових сум: , де Sn = u 1+ u 2+...+ un. Звідси випливає, що S = Sn + Rn, де Rn — залишок ряду, причому Rn ® 0, якщо n ®¥. Для знаходження суми S ряду з заданою точністю e потрібно вибрати кількість доданків настільки великою, щоб справджувалася нерівність: |Rn | < e. Тоді часткову суму Sn наближено можна прийняти за точну суму S. Дійсна функція ¦(x) називається аналітичною в точці x 0, якщо в деякому околі цієї точки функція розкладається в ряд Тейлора: . При x 0 = 0 отримуємо ряд Маклорена: . Нехай Різниця Rn (x) = ¦(x) – Рn (x) називається залишковим членом та є помилкою при заміні функції ¦(x) багаточленом Рn (x). Відомо, що де 0 < q < 1. Зокрема, для ряду Маклорена маємо: Наприклад, обчислимо з точністю до 0,0001. Функція ex розкладається так: звідки . Оцінимо залишковий член Rn (x). Маємо: Якщо взяти n = 3, то Rn < 0,0001. Тому = 1 + 0,2 + 0,02 + 0,00133» 1,2213. Чисельні методи розв’язання алгебраїчних та трансцендентних рівнянь Дано рівняння: ¦(x) = 0, (1) де функція ¦(x) визначена та неперервна на деякому скінченному чи нескінченному інтервалі а < x < b. Будь-яке значення x, що перетворює функцію ¦(x) на нуль, тобто ¦(x) = 0, називається коренем рівняння ¦(x) = 0 або коренем функції ¦(x). Наближене знаходження коренів зазвичай складається з двох етапів: відділення коренів, тобто встановлення якомога найвужчих проміжків [a, b], в яких міститься один, і тільки один корінь; уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого рівня точності. Для відділення коренів скористаємося відомою з математичного аналізу теоремою. Теорема 1. Якщо неперервна функція ¦(x) набуває різних знаків на кінцях відрізка [ а, b ], тобто ¦(а) ¦(b) < 0, то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння ¦(x) = 0, тобто знайдеться хоча б одне число x Î [ а; b ], таке, що f (x)= 0. Корінь x буде єдиним, якщо похідна ¦ ' (x) існує та зберігає один і той же знак всередині інтервалу [ а; b ]. Корені рівняння можна наближено визначати графічно, як абсциси точок перетину графіка функції у = ¦(x) з віссю ОХ. Часто буває вигідно рівняння (1) замінити рівносильним рівнянням
Метод половинного поділу Нехай дано рівняння (1) та ¦(а)¦(b) < 0. Поділимо відрізок [ а, b ] навпіл. Якщо , то x= (а + b): 2є коренем рівняння. Якщо то вибираємо ту з половин [ a; (a + b): 2] чи [(a + b): 2; b ], на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий, звужений відрізок [ a 1, b 1] знову поділимо навпіл та проводимо ті самі міркування. У результаті отримаємо на якомусь етапі чи точний корінь рівняння (1), чи нескінченну послідовність вкладених один в один відрізків [ а 1, b 1], [ а 2, b 2],..., [ аn, bn ] таких, що f (an) f (bn) < 0 та Границя є коренем рівняння (1). Очевидно, що та Метод пропорційних частин (метод хорд) Нехай для визначеності f (a) < 0 та f (b) > 0 і f' (x) > 0 (інші випадки зводяться до попереднього). Тоді крива буде опуклою вниз (рис. 9). Рис. 9 Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої y = f (x) хордою, що проходить через точки А (a, f (a)), B (b, f (b)) та перетинає вісь ОХ у точці х 1. Рівнянням хорди є: Припускаючи, що y = 0 та х = х 1, отримаємо: Через точки A 1(x 1, f (x 1)) та B (b, f (b)) проводимо хорду A 1 B, яка перетинає вісь ОХ в точці х 2. Знаходимо: Продовжуючи процес, отримаємо: (2) Можна показати, що послідовність (хn) ® x при n ® ¥. В даному разі правий кінець відрізка [ a, b ], тобто відрізок [x, b ] залишався нерухомим. Якщо f (a) > 0 та f (b) < 0, то нерухомим буде лівий кінець відрізка [ a, b ], тобто відрізок [ а, x], а послідовні наближення знаходять за формулою: (3) Взагалі, нерухомий той кінець відрізка, для якого знак функції f (x) збігається зі знаком другої похідної функції f¢¢ (x); послідовні наближення хn лежать по ту сторону від кореня, де знак функції f (x)протилежний знакові її другої похідної. Крім вищеописаних, часто використовуються ще такі методи: метод Ньютона, або метод дотичних, який подібний до методу хорд, але замість хорд використовуються дотичні до кривої y = f (x) у точках Bi (або Ai); комбінований метод, який поєднує в собі метод хорд та метод Ньютона; метод ітерацій, в якому рівняння (1) замінюється рівнянням х = j(х), х 0 вибирається рівним деякому довільному значенню на інтервалі [ a, b ], а послідовність наближень будується за формулою хn = j(хn –1).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 277; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.228.237 (0.01 с.) |