Основні поняття, пов’язані з похибками числа

Наближеним числом a називається число, яке незначно відрізняється від точного числа A та яке замінює останнє в обчисленнях.

Під помилкою чи похибкою D a наближеного числа a загалом розуміють різницю між відповідним точним числом та даним наближеним числом:

D a = A – a.

Якщо A > a, то D a > 0, якщо ж A < a, то D a <0. У багатьох випадках знак помилки невідомий, тому вводиться поняття абсолютної похибки та граничної абсолютної похибки.

Абсолютною похибкою D наближеного числа a називається абсолютна величина різниці між відповідним точним числом A та числом a:

D = |A – a|.

У більшості випадків точне значення A невідоме, абсолютну похибку практично знайти неможливо, тому вводиться поняття граничної абсолютної похибки.

Граничною абсолютною похибкою D a наближеного числа називається число, не менше абсолютної похибки цього числа.

Отже, якщо D a — гранична абсолютна похибка наближеного числа a, яке замінює точне A, то:

D = |A – a| £D _a.

Звідси випливає, що точне число A міститься в межах:

a – D _a £ A £ a +D _a.

У такому разі для скорочення користуються таким записом:

A = a ± D _a.

Для точності вимірювань даних важливою є абсолютна похибка, яка припадає на одиницю величини числа.

Відносною похибкою d наближеного числа a називається відношення абсолютної похибки D цього числа до модуля відповідного точного числа A:

.

Звідси:

D = d |A|.

Граничною відносною похибкою d_a наближеного числа називається будь-яке число, не менше, ніж відносна похибка цього числа:

d ≤ d _a,

тобто

,

звідки

D £ |A| d _a,

отже,

D _a = |A| d _a.

Оскільки практично A» а, то часто користуються формулою:

D _a = |а| d _a.

Звідси

A = a (1 ± d _a).

Покладемо для визначеності A > 0, a > 0 та D _a < a, тоді:

тобто

наближено можна записати: та D _a» a d _a.

Відомо, що будь-яке додатне число а можна подати у вигляді скінченного чи нескінченного дробу:

a = a _m 10 ^m + a _{m –1}10 ^{m –1} + a _{m –2}10 ^{m –2} + … + a _{m–n +1}10 ^{m–n +1}+ …,

де a _i — цифри числа a, причому a _m ¹ 0. Усі десяткові знаки a _i, які містяться у записі наближеного числа а, називаються значущими цифрами цього числа.

Значущою цифрою наближеного числа а називається будь-яка цифра в його десятковому вираженні, відмінна від нуля, та нуль, якщо він міститься між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду. Решта нулів, що входять у склад наближеного числа та служать тільки для позначення його десяткових розрядів, не зараховуються до значущих цифр.

Наприклад, у числах 0,00 320010 та 25 000 підкреслені нулі не є значущими цифрами.

Введемо поняття про правильні десяткові знаки наближеного числа.

Кажуть, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа є правильними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, який виражається n -значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

Отже, якщо:

то, за визначенням, перші n цифр a _m,a _{m –1}, … a _{m – n +1} цього числа є правильними.

Справджується таке твердження: якщо додатне наближене число а має n правильних десяткових знаків, то відносна похибкаd цього числа не перевершує 10^{1– n} , поділене на значущу цифру цього числа:

Отже, за граничну відносну похибку числа можна взяти:

Якщо n ³ 2, то практично справджується така формула:

Справджуються такі твердження:

а) абсолютна похибка алгебраїчної суми кількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел, тобто, якщо:

u = ± x ₁± x ₂ ±… ± x_n,

то

D u £ |D x ₁| + |D x ₂| +… +|D x_n |,

отже,

D _u £ D x ₁ +D x ₂ + … +D x_n;

б) якщо доданки одного й того ж знака, то гранична відносна похибка їх суми не перевищує найбільшої з граничних відносних похибок доданків;

в) відносна похибка добутку кількох наближених чисел, відмінних від нуля, не перевищує суму відносних похибок цих чисел. Тобто, якщо:

u = x ₁ x ₂ ... x_n ,

то

,

отже,

г) відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого та дільника.

Наприклад, якщо u = х: y, то d _u = d _x + d _у;

д) гранична відносна похибка m -го степеня числа в m разів більша, ніж гранична похибка самого числа, тобто, якщо u = x^m,
то d _u = m d _x.

Основні формули розрахунку похибок: