Інтерполяція та наближення функцій

Найпростіше завдання інтерполювання полягає в такому. На відрізку [ a, b ] задані n + 1 точки х ₀, х ₁,..., х_n, які називаються вузлами інтерполяції, та значення деякої функції f (x) в цих точках y ₀ = f (x ₀), y ₁ = f (x ₁), …, y_n = f (x_n). Необхідно побудувати функцію F (x) (інтерполюючи функцію f (x)), що належить певному класу та набуває у вузлах інтерполяції тих самих значень, що й f (x).

Геометрично це означає, що необхідно знайти криву y = F (x) певного типу, яка проходить через задану систему точок M_i (x_i, y_i), i = 1, 2, …, n.

У такій постановці задача може мати нескінченну множину розв’язків або не мати їх зовсім. Для уникнення цієї проблеми найчастіше замість довільної функції F (x) шукають поліном Р_n (x) степеня, не вищого від n, який задовольняє умови y ₀ = P_n (x ₀),
y ₁ = P_n (x ₁), …, y_n = P_n (x_n).

Отриману інтерполяційну формулу, як правило, використовують для наближеного обчислення значень функції f (x) для значень аргументу x, які відрізняються від вузлів інтерполювання.

Інтерполяційна формула Лагранжа. Нехай на відрізку [ a, b ] задано n + 1 різних значень аргументу: х ₀, х ₁,..., x_n та відомі для функції y = f (x) відповідні значення y ₀ = f (x ₀), y ₁ = f (x ₁), …, y_n = f (x_n). Необхідно побудувати поліном L_n (x) степеня, не вищого від n, який має в заданих вузлах х ₀, х ₁,..., x_n ті самі значення, що й функція f (x), тобто L_n (x_i) = y_i, i = 0, 1, …, n. Поліном

(10)

степеня n має таку властивість: P_k (x_m) = 0, якщо k ¹ m та P_k (x_k) = 1. Тому шуканий багаточлен має такий вигляд:

або

(11)

Формула (11) називається інтерполяційною формулою Лагранжа. Отриманий поліном Лагранжа єдиний. Формулу (11) можна виразити стисліше. Нехай

w(х) = (х – х ₀)(х – х ₁)...(х – х_n),

тоді

w¢(x_k) = (x_k – x ₀)(x_k – x ₁)…(x_k – x_{k –1})(x_k – x_{k+ 1})…(x_k – x_n),

отже,

(12)

Вузли інтерполяції називаються рівновіддаленими, якщо
x_k = x ₀ + kh, k = 0, 1, …, n, h — крок інтерполяції. Покладемо х = х ₀ +
+ uh, тоді при u = 0, 1, …, n отримуємо вузли інтерполяції х ₀, х ₁,..., x_n. Очевидно, що

w(x) = h^{n +1} u (u – 1)(u – 2)…(u – n);

w¢(x_k) = (–1) ^{n – k} hⁿk!(n – k)!;

x – x_k = h (u – k).

Підставляючи ці значення в формулу (12), отримаємо:

(13)

де W(u) = u (u – 1)(u – 2)…(u – n).

Різниця R_n (x) = f (x) – L_n (x) називається залишковим членом інтерполяції. Якщо функція f (x) має на відрізку [ a, b ] всі похідні до (n + 1)-го порядку включно, то

(14)

де x залежить від х та лежить у середині відрізка [ a, b ].

Якщо то

Скінченні різниці. Нехай функція y = f (x) задана табличними значеннями y_k = f (x_k) для системи рівновіддалених точок x_k,
k = 0, 1, …, n, де D x_k = x_{k +1} – x_k = h — крок таблиці.

Перші скінченні різниці значень функції y_k = f (x_k) визначаються такими рівностями:

D y ₀ = y ₁ – y ₀; D y ₁ = y ₂ – y ₁; …; D y_{n –1} = y_n – y_{n –1}.

За першими різницями аналогічно обраховуємо значення різниць другого порядку:

D² y ₀ = D(D y ₀) = D y ₁ – D y ₀; D² y ₁ = D(D y ₁) = D y ₂ – D y ₁; …;
D² y_{n –1} = D(D y_{n –1}) = D y_n – D y_{n –1}.

Різниці порядку m + 1 визначаються за різницями порядку m за допомогою рекурентної формули:

D ^{m +1} y_k = D(D ^my_k) = D ^my_{k +1} – D ^my_k.

Скінченні різниці кількох порядків зручно подавати у формі таблиць двох видів: горизонтальній або діагональній таблицях різниць.

ГОРИЗОНТАЛЬНА ТАБЛИЦЯ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ

ДІАГОНАЛЬНА ТАБЛИЦЯ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ

x

y

D y

D^2 y

D^3 y

D^4 y

x

y

D y

D^2 y

D^3 y

x 0

y 0

D y 0

D^2 y 0

D^3 y 0

D^4 y 0

x 0

y 0

x 1

y 1

D y 1

D^2 y 1

D^3 y 1

D^4 y 1

D y 0

x 2

y 2

D y 2

D^2 y 2

D^3 y 2

D^4 y 2

x 1

y 1

D^2 y 0

…

…

…

…

…

…

D y 1

D^3 y 0

x 2

y 2

D^2 y 1

D y 2

x 3

y 3

Перша інтерполяційна формула Ньютона. Нехай задані рівновіддалені точки х_k = x ₀ + kh, а значення функції y = f (x) у цих точках: y_k = f (x_k), k = 0, 1,…, n.

Введемо нову змінну u = (x – x ₀)/ h або x = x + uh.

Якщо u набуває значень 0, 1,..., n, то х набуває значень
х ₀, х ₁,..., x_n. Інтерполяційний багаточлен H_n (x) = H_n (x ₀ + uh) будемо шукати у вигляді:

H (x ₀ + uh) = a ₀ + a ₁ u + a ₂ u (u – 1)(u – 2) +…
… + a_nu (u – 1)(u – 2)…(u – n + 1).

Коефіцієнти а ₀, а ₁,..., а_n знайдемо з умови H (x ₀ + kh) = y_k:

y ₀ = a ₀;

y ₁ = a ₀ + a ₁;

y ₂ = a ₀ + 2 a ₁ + 2 a ₂;

……………………

y_n = a ₀ + na ₁ + n (n – 1) a ₂ + … + n! a_n.

З цієї системи рівнянь послідовно знаходимо:

Підставивши знайдені коефіцієнти, отримаємо: