Інтерференція світлових хвиль

ОПТИКА

Хвильова оптика

Хвильова оптикавивчає хвильові властивості електромагнітного випромінювання та його взаємодію з речовиною у видимому інтервалі довжин хвиль

,

з частотами

,

тобто на таких частотах і довжинах хвиль, які викликають зорове відчуття образів людським оком. Таке випромінювання ще називають світлом.

Властивості світлапроявляються у таких явищах як інтерференція, дифракція та дисперсія, поляризація, відбивання, поглинання та розсіювання, теплового випромінювання речовиною. Вирішення проблеми квантування світла та його корпускулярно-хвильової природи стало першим кроком у становленні квантової механіки. Саме це коло питань буде предметом розгляду нижче.

Надалі ми будемо розглядати плоскі хвилі, що розповсюджуються в напрямкові осі ОХ і описуються рівняннями

,

де – амплітуди електричної та магнітної складових (плоскі хвилі мають хвильовий фронт у вигляді безконечної площини). Речовина, в якій розповсюджуються хвилі, характеризується діелектричною e та магнітною m проникливостями, фазовою груповою швидкістю . Інтенсивністьелектромагнітної хвилі можна записати через електричну складову

, (1)

або магнітну складову

. (2)

Якщо врахувати, що показник заломлення світла у речовині , то вирази для інтенсивності можна записати у вигляді

. (3)

Інтерференція світлових хвиль

Додавання когерентних хвиль

Дві хвилі

, (1)

де

(2)

називаються когерентними, якщо , а різниця фаз

(3)

не залежить від часу. В результаті додавання хвиль (1) за допомогою метода фазових діаграм (див.п. 4.8) одержимо

, (4)

де

, (5)

. (6)

Фазова діаграма представлена на Мал. (див. Мал.140). Вираз (5) можна записати через інтенсивність

(7)

В (7) доданок

(8)

називається інтерференційним членом. Вираз

є середнім значенням cosd за період.

Різниця фаз може залежати від часу, але коли за період вона змінюється менше ніж на p, то середнє значення за період буде відмінне від нуля. Такі хвилі називаються частково когерентними. У противному

_. (9)

Таким чином у випадках повної чи часткової когерентності інтерференційний член (8) буде відмінним від 0.

Розпишемо різницю фаз (3) у явному виді

і представимо її так

(10)

У (10) у середовищі з показником заломлення світла n

¾ довжина хвилі у вакуумі,

¾ довжина хвилі у середовищі,

¾ хвильове число,

¾ величина оптичного ходу хвилі,

¾ оптична різниця ходу світла.

Якщо дві когерентні хвилі розповсюджуються у одному середовищі, то і називається різницею ходу світла.

Когерентність

Час когерентності.

Атоми речовини, переходячи зі збудженого стану в основний за час , випромінюють електромагнітну хвилю з якоюсь початковою фазою й хвиля розповсюджується на відстань . Таке випромінювання називають хвильовим цугом. Наступне випромінювання цього атома буде мати іншу початкову фазу . Це означає, що різниця фаз випромінювання як одного атома так і інших атомів джерела світла буде хаотично змінюватися і їх випромінювання не буде когерентним. Когерентними можуть бути лише випромінювання атомів джерела світла у проміжку середнього часу дискретного випромінювання атомів. При цьому різниця фаз випромінювання змінюється на величину менше . Час за величиною близький до проміжку . Частотний спектр цуга, показує, що інтенсивність світла зосереджена близько частоти в діапазоні . Прийнято, що частоти відповідають половині інтенсивності світла на частоті . Розрахунки показують, що час когерентності й проміжок частот зв¢язані між собою співвідношенням

. (11)

Довжина когерентності.

При розповсюдженні хвилі в однорідному середовищі, фаза коливання, викликаного нею в деякій точці, зберігається на протязі часу . Відстань, яку пройде за цей час хвиля, становить

, (12)

і вона називається довжиною когерентності. Це означає, що явище інтерференції світла можна спостерігати лише у тому випадку, коли оптична різниця ходу хвиль буде меншою за довжину когерентності . Довжину когерентності (12) можна виразити через довжину хвилі так

. (13)

Якщо хвиля за допомогою напівпрозорих дзеркал поділена на дві, то для їх когерентності потрібно, щоб різниця ходу між ними не була більшою за довжину когерентності.

 

13.2.3. Радіус просторової когерентності.

 

Відстань r між двома точками випромінюючої поверхні, перпендикулярної напрямкові розповсюдження хвиль, на якій випадкова зміна різниці фаз досягає p, називається радіусом просторової когерентності. Розрахунки показують

, (14)

де J ¾ кутовий розмір джерела випромінювання електромагнітних хвиль із точки спостереження О (див. Мал.141). Випромінювання з двох точок поверхні джерела світла будуть когерентними, якщо вони знаходяться на відстані не більше радіуса когерентності. Для спостерігача на Землі кутовий розмір Сонця складає 0,01 рад і при довжині хвилі і радіус когерентності сонячного світла становить .

 

 

Дослід Юнга

 

Принципову схему досліду Юнга представлено на Мал.142. У площині S₁ зроблено один отвір радіусом порядку радіуса просторової когерентності (~0.5 мм) для сонячного світла, а в площині S₂, віддаленій від першої на l, зроблено два таких отвори на відстані d один від другого. Когерентне світло, що виходить з отвору у площині , потрапляє у два отвори в площині . Промені із цих отворів збігаються у точку А на екран з координатою х. Різницю ходу хвиль можна знайти у такий спосіб

так як . З іншого боку,

.

Тепер

.

Положення максимумів визначаємо з рівняння

, (1)

a мінімумів із рівняння

. (2)

Для спостереження максимумів чи мінімумів інтерференції потрібно щоб відстань між ними становила, принаймні не менше 0.1 мм, тобто

. (3)

 

а це можливо коли d~l. В наведених виразах n=­0,1,2,... ¾ порядок максимуму та мінімуму.

Кільця Ньютона

 

Кільця Ньютона¾ інтерференційна картина, що спостерігається в оптичній схемі, представленій на Мал.144. Плосковипукла лінза з достатньо великим радіусом кривизни R повернена випуклою поверхнею до плоскої пластинки П і дотикається до неї у точці О.

Паралельний пучок світла падає нормально на плоску поверхню лінзи і частково відбивається від верхньої та нижньої поверхонь повітряного простору між пластинкою та лінзою. При накладанні відбитих хвиль виникають інтерференційні кільця, які відповідають певним радіусам, що визначають різницю ходу променів. З наведеного малюнку видно, що

,

а оптична різниця ходу

.

Доданок пов'язаний із зсувом за фазою на p при відбиванні світла від поверхні пластинки, яка оптично щільніша за повітря. У відбитому світлі положення максимумів визначається так

,

(1)

а для мінімумів

. (2)

Для світла, що проходить через пластинку умови положення максимумів та мінімумів міняються місцями по відношенню до відбитого світла. Положення максимумів буде визначатися так

, (3)

а для максимумів

. (4)

 

Інтерферометр Майкельсона

 

Інтерферометр Майкельсона, принципова схема якого показана на Мал.149, використовується для точних вимірювань показника заломлення світла газів та їх залежності від температури, тиску й вологості. Світло від джерела S падає під кутом на плоскопаралельну скляну пластинку , задня стінка якої посріблена. Частина світла від неї відбивається (промінь 1) до дзеркала . Далі промінь 1 відбивається від і частково проходить через до лінзи Л (промінь 1'), а частково проходить у вертикальному напрямкові (промінь 2) до пластинки і далі до дзеркала . Цей промінь відбивається від і повертається до пластинки , двічі проходячи через неї. Від посріблення пластинки промінь 2 частково відбивається в напрямкові 2' до лінзи Л. Хвилі 1' та 2' когерентні і результат інтерференції залежить від різниці оптичного ходу. Завдяки пластинці їх шлях у склі однаковий, тому називають компенсатором.

Різниця оптичного ходу

,

де ¾ відстані від точки О до дзеркал та , ¾ показник заломлення повітря. Якщо , то спостерігається максимум інтерференції. Переміщення одного із дзеркал на відстань призводить до появи мінімуму. Таким чином по зміні інтерференційної картиниможна оцінити малі переміщення одного із дзеркал. Якщо замість пластин використовувати кювети ¾ порожнинні скляні ємності за формою паралелепіпеда, заповнені повітрям або іншим газом чи рідиною, то можна вимірювати їх показники заломлення у залежності, наприклад, від температури, від тиску та інше. Зміна показника заломлення світла розраховується за зміною інтерференційної картини. Похибки вимірювання показника заломлення світла за допомогою інтерферометра Майкельсона становить .

 

Голографія

У 1948 році Д.Габор запропонував голографічний метод одержання зображень предметів. Голографія є метод одержання просторових зображень (голограми) предметів шляхом фотографічного запису результатів інтерференції двох когерентних лазерних пучків світла. Для одержання голограми лазерне випромінювання поділяють на два пучки 1 ¾ опорний і 2 ¾ сигнальний (предметний), що розсіюється об'ємною поверхнею деякого предмета (див.Мал.150). Після зведення пучка 1 і розсіяного пучка 2' на фотопластинці, остання зафіксує просторову картину їх інтерференції. Після проявлення фотопластинки одержимо голограму ¾ узор із малих областей різного роду почорніння фотоемульсії, який не має ніякої схожості з предметом. Голограма фіксує амплітудні й фазові співвідношення у розсіяному від предмета світлі, які визначаються взаємним просторовим розташуванням частин предмета.

Відтворення зображення предмета з голограми відбувається шляхом освітлення її таким же опорним пучком світла, як і при записі голограми.

Якщо товщина фотоплівки мала, то голограму називають двовимірною і зображення предмета можна спостерігати не тільки при освітленні опорним лазерним пучком, а й світлом, наприклад, ртутної лампи. Однак освітлення голограми опорним світлом дає повне і якісне зображення предмета.

При утворенні голограми на фотопластинці (див.Мал.151), усі її ділянки освітлюються розсіяним випромінюванням від усіх частин предмета, а тому кожна частинка голограми містить усю інформацію про предмет і усі разом вони дають чітке зображення предмета. Чим менша частинка голограми використовується ти менш чітким буде образ предмета.

При відтворенні образу предмета він створюється як відбитим так і випромінюванням, що пройшло голограму. Відбита хвиля створює уявне зображення, а та, що пройшла створює дійсне зображення.

Використання як опорного та сигнального лазерного випромінювання трьох основних кольорів (червоний, зелений, синій) дає змогу одержати кольорову об'ємну голограму у прозорій фотоплівці товщиною ~ 15¾20 мкм. Випромінювання від лазерів S проходить через пластинку й фотоплівку, розсіюється предметом і повертається у шар фотоемульсії, де інтерферує з падаючим випромінюванням. Відновлення кольорового зображення можливе у звичайному білому світлі.

У 1962 році Ю.М.Денисюк вперше одержав об'ємну голограму у товстій фотоемульсійній плівці. Такі голограми подібні до просторових дифракційних решіток. Відтворення зображень предметів з таких голограм можливо у білому світлі.

Голографія відкриває широкі перспективи у створенні великих систем пам'яті обчислювальних машин, систем інформаційного пошуку, систем розпізнавання образів і, нарешті, у створенні систем стереоскопічного кольорового кіно та телебачення.

 

Дифракція

 

Явище відхилення світла від прямолінійного розповсюдження в середовищі з різко вираженими оптичними неоднорідностями називається дифракцією. До згаданих явищ відносять огинання світлом макроперешкод, проходження через отвори та інше. В результаті в геометричній тіні спостерігаються освітлені та затемнені області. Розрізнюють дифракцію сферичних хвиль – дифракція Френеля та дифракцію плоских хвиль – дифракція Фраунгофера.

 

Принцип Гюйгенса-Френеля

 

Положення хвильового фронту у будь-який момент часу можна визначити за принципом Гюйгенса. Згідно цього принципу усі точки хвильової поверхні є уявними (фіктивними) вторинними точковими джерелами когерентних коливань. Ці джерела випромінюють сферичні хвилі від генеруючого джерела, а у напрямі до нього вони взаємно компенсуються. Для знаходження положення хвильового фронту в наступний момент часу потрібно побудувати огинаючу поверхню хвильових сферичних поверхонь указаних точкових джерел.

Розрахунок інтенсивності випромінювання у деякій точці М простору, у тому числі і тоді коли ця точка знаходиться у області геометричної тіні проводиться за принципом Френеляу такий спосіб.

а) Джерело коливань S₀ замінюється еквівалентною йому системою уявних вторинних джерел ¾ малих ділянок dS будь - якої замкненої допоміжної хвильової поверхні S, яка охоплює джерело S₀ і не охоплює точку М, що знаходиться на відстані r від dS;

б) амплітуда dЕ коливань, що збуджуються в точці М вторинним джерелом задається виразом

, (1)

де ¾ амплітуда коливань джерела , функція визначає залежність вторинного випромінювання від кута a між зовнішньою нормаллю до хвильової поверхні й напрямком від dS до М, яка монотонно зменшується від 1 при a = 0 до 0 при (вторинні джерела не випромінюють у зворотному напрямку).Результуюча амплітуда тепер може бути записана так

, (2)

де інтегрування проводиться по усій допоміжній хвильовій поверхні.

 

Зони Френеля

 

Для спрощення розрахунку амплітуди коливань від вторинних джерел випромінювання хвильової поверхні S (сфера радіуса R) у точці М для точкового джерела S₀, поверхня S розбивається на кільцеві ділянки радіуса r_i, такі, що відстань від суміжних ділянок до точки М різниться на l/2 (див.Мал.14). Це означає, що хвилі від сусідніх ділянок приходять у точку М у протифазі. Амплітуда результуючих коливань у точці М дорівнює

, (1)

де ¾ амплітуда коливань, які збуджуються у точці М і-ю кільцевою поверхнею. Такі кільцеві поверхні називаються зонами Френеля. У загальному випадку під зонами Френеля розуміють ділянки хвильових поверхонь, для яких відстань від суміжних ділянок до точки М різниться на , а результуюча амплітуда знаходиться алгебраїчним додаванням амплітуд від зон. З малюнка видно, що

. (2)

Для не дуже великих і, приймаючи, що l<<L, із попереднього рівняння можна одержати

. (3)

Площа поверхні і - ої зони Френеля дорівнює різниці площ поверхонь сусідніх сферичних сегментів

, (4)

і не залежить від номера зони, тобто є сталою величиною. Тому можна покласти, що

і величину результуючої амплітуди коливань у точці М можна представити так

. (6)

Згідно з попереднім виразом, доданки у дужках дадуть 0 і остаточно отримаємо

. (7)

 

Розрахуємо кількість зон, яку потрібно приймати до уваги при розрахунку результуючої амплітуди. Відстань найвіддаленішої N-ої зони Френеля до точки М дорівнює довжині дотичної, проведеної з М до кола, тому

(5)

і при .

 

ОПТИКА

Хвильова оптика

Хвильова оптикавивчає хвильові властивості електромагнітного випромінювання та його взаємодію з речовиною у видимому інтервалі довжин хвиль

,

з частотами

,

тобто на таких частотах і довжинах хвиль, які викликають зорове відчуття образів людським оком. Таке випромінювання ще називають світлом.

Властивості світлапроявляються у таких явищах як інтерференція, дифракція та дисперсія, поляризація, відбивання, поглинання та розсіювання, теплового випромінювання речовиною. Вирішення проблеми квантування світла та його корпускулярно-хвильової природи стало першим кроком у становленні квантової механіки. Саме це коло питань буде предметом розгляду нижче.

Надалі ми будемо розглядати плоскі хвилі, що розповсюджуються в напрямкові осі ОХ і описуються рівняннями

,

де – амплітуди електричної та магнітної складових (плоскі хвилі мають хвильовий фронт у вигляді безконечної площини). Речовина, в якій розповсюджуються хвилі, характеризується діелектричною e та магнітною m проникливостями, фазовою груповою швидкістю . Інтенсивністьелектромагнітної хвилі можна записати через електричну складову

, (1)

або магнітну складову

. (2)

Якщо врахувати, що показник заломлення світла у речовині , то вирази для інтенсивності можна записати у вигляді

. (3)

Інтерференція світлових хвиль

Додавання когерентних хвиль

Дві хвилі

, (1)

де

(2)

називаються когерентними, якщо , а різниця фаз

(3)

не залежить від часу. В результаті додавання хвиль (1) за допомогою метода фазових діаграм (див.п. 4.8) одержимо

, (4)

де

, (5)

. (6)

Фазова діаграма представлена на Мал. (див. Мал.140). Вираз (5) можна записати через інтенсивність

(7)

В (7) доданок

(8)

називається інтерференційним членом. Вираз

є середнім значенням cosd за період.

Різниця фаз може залежати від часу, але коли за період вона змінюється менше ніж на p, то середнє значення за період буде відмінне від нуля. Такі хвилі називаються частково когерентними. У противному

_. (9)

Таким чином у випадках повної чи часткової когерентності інтерференційний член (8) буде відмінним від 0.

Розпишемо різницю фаз (3) у явному виді

і представимо її так

(10)

У (10) у середовищі з показником заломлення світла n

¾ довжина хвилі у вакуумі,

¾ довжина хвилі у середовищі,

¾ хвильове число,

¾ величина оптичного ходу хвилі,

¾ оптична різниця ходу світла.

Якщо дві когерентні хвилі розповсюджуються у одному середовищі, то і називається різницею ходу світла.