Из условий закрепления балки по концам

Для того, чтобы построить эпюры прогиба y (Z), углов поворота сечений φ (Z), изгибающих моментов M (Z), поперечных сил Q (Z) по формулам (8), необходимо знать величины начальных параметров y0, φ0, M0, Q0, входящих в (8).

Величины двух начальных параметров из четырех непосредственно находятся из условий опирания левого конца балки. Если опирание свободное – рис. 2 а, то M0= 0, Q0= 0, если шарнирное – рис. 2 в, то y0= 0, M0= 0, если левый конец защемлен – рис. 2 д, то y0= 0, φ0= 0.

Величины двух других начальных параметров определяются из условий опирания правого конца балки длиной ℓ. Если опирание свободное,

рис. 2 б, то для нахождения начальных параметров получаем уравнения

М (αℓ) = 0, Q (αℓ) = 0, если шарнирное, рис. 2 г, то уравнения у (αℓ) = 0,

М (αℓ) = 0, если правый конец защемлен, рис. 2 д, то уравнения у (αℓ) = 0, φ (αℓ) = 0.

Решая систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными, находим данные параметры.

В качестве примера рассмотрим процесс нахождения начальных параметров для балки, изображенной на рис. 6 – свободный от закреплений левый конец балки, шарнирно опертый правый конец балки.

Рис. 6

Балка имеет прямоугольное поперечное сечение b * h = 0,4 * 0,5 м2, модуль упругости бетона берем равным Е = 2,1 * 1010Па, коэффициент жесткости упругого основания К0= 2 * 108н/ м3. В процессе вычислений находим: К = К0b = 2 108 0,4 = 8 * 107н/ м2, Ix= b h3/12 = 0,00416(6) м4,

E Ix= 8,76 * 107н/ м2,

Из условий на левом конце балки находим y0= 0, M0= 0. Уравнения для нахождения начальных параметров Q0и φ0будут следующими:

Решая полученную систему уравнений, находим:

= -2,68324731 * 10-4(м), φ0/α =1,30577156 * 10-4(м).

Отметим, что в уравнение (8) начальные параметры входят в приведенном виде φ0/α, - M0/(ЕIα2), - Q0/(ЕIα3), поэтому их следует искать в этом же виде, в котором все они имеют размерность длины (м) и характеризуются сопоставимыми между собой значениями.

Рассмотрим также пример определения начальных параметров для балки, изображенной на рис. 7 со свободными от закреплений концами.

Рис. 7

Балка имеет прямоугольное поперечное сечение b * h = 0,3 * 0,4 м2, модуль упругости бетона берем равным Е = 2,1 * 1010Па, коэффициент жесткости упругого основания К0= 1 * 108н/ м3. В процессе вычислений находим: К = К0b = 1 108 0,4 = 4 * 107н/ м2, Ix= b h3/12 = 0,0016 м4, E Ix= 3,36 * 107н/ м2,

Из условий на левом конце балки находим M0= 0, Q0= 0. Уравнения для нахождения начальных параметров y0и φ0будут следующими:

Решая полученную систему уравнений, находим:

= 2,56656393 * 10-4(м), φ0/α =-1,47779349 * 10-6(м).

Отметим, что начальные параметры надо определять с весьма высокой точностью, иначе на правом конце балки значения функций y(L), φ(L), M(L), Q (L) будут содержать заметные погрешности.

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z)

И РЕАКТИВНЫХ ДАВЛЕНИЙ R (Z)

Изменение напряженно-деформированного состояния балки по ее длине характеризуется эпюрами y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z), то есть графиками изменения этих функций вдоль оси Z. После нахождения приведенных начальных параметров уравнения (8) для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) полностью определены и можно строить эпюры.

При этом необходимо учитывать правила знаков: прогиб считается положительным, если он совпадает с положительным направлением оси у (вниз), угол поворота сечения φ (Z) считается положительным, если сечение поворачивается по часовой стрелке. Для знаков M (Z) и Q (Z) принимается правило: М>0 в данном сечении балки, если там растянуты нижние волокна и сжаты верхние, Q>0 в данном сечении, если вектор Q стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке – рис. 7.

Рис. 8

 

Эпюра реактивных давлений грунта R(Z) строится на основании формулы (1) после построения эпюры y (Z).

В качестве примера рассмотрим процесс построения эпюр для балки, изображенной на рис. 9. Сечение балки – прямоугольное b * h = 0.3 * 0.4 м2, E = 2.1 * 1010Па, K = 6 * 107Па, m = 104нм, Р = 104н, q = 10⁴ н/м.

Уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) будут следующими:

13

Коэффициент приведенные начальные параметры, найденные из условий закрепления балки по концам, будут:

Строим эпюры y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для последовательности сечений Z = 0, 0.5, 1.0, 1.5,…, 8, рис. 9.

Для проверки правильности построения эпюр можно использовать формулы [1]:

. (12)

Следует помнить, что первая производная функции в любой точке ее графика равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси Z. Таким образом, если при Z2> Z1M2> M1, то на этом участке Q>0, если при Z2> Z1φ2> φ1, то на этом участке M < 0, если при Z2> Z1y2> y1, то на этом участке φ > 0.

Например, на рис. 9 при Z < 2 м М возрастает, поэтому Q > 0, при

Z > 6 м М убывает, поэтому Q < 0.

Отметим также, что если при Z = Zi M = Mэкстр, то в этой точке

Q = 0, если при Z = Zi φ = φэкстр, то в этой точке М=0, если при Z = Zi

у = yэкстр, то в этой точке φ = 0.

Например, на рис. 9 при Z = 2,18 м, 5,37 м, 6,09 м функция прогиба у имеет экстремумы, поэтому в этих точках φ = y ́z= 0. Добавим, что если на балку действуют сосредоточенные силы Рi, то на эпюре Q в этих сечениях должны быть скачки, равные по величине Рiи направленные в сторону действия Рi– сечение Z = 2 м на эпюре Q, рис. 9. Если на балку действуют сосредоточенные моменты mi, то на эпюре М в этих сечениях должны быть скачки, величина которых совпадает с величиной приложенных моментов – например, сечение Z= 6 м эпюры М, рис. 9.

P=10⁴ H m=10⁴ Hм

 

Рис. 9

Лекция 18

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.