Классификация граничных условий

Граничные условия бывают:

Геометрическими, статическими и смешанными.

– геометр. гр. усл.

– статич. гр. усл.

Граничные условия подразделяют на однородные и неоднородные.

Схема подхода к решению задач прочности пластины.

1. Анализ конструкции

2. Расчётная схема

3. Математическая модель

4. Численная реализация матем. модели

 

Построение аппроксимирующих функций статическим методом В.З.Власова

 

В.З.Власов (1906-1958гг) предложил способ построения функций распределения прогиба пластины, удовлетворяющих как граничным условиям, так и характеру распределения внешней нагрузки.

К входным параметрам относятся: a, b, h (м)-(1,2,3), толщина пластины; E(Па), μ(безр)- (4,5), условие закрепления (6,7,8,9); q(x,y) (10) (при расчете в размерном виде)

Σ10

При решении в безразмерном виде решению соответствует бесконечное множество пластин для любых значений а(м), h(м), Е(Па)

Далее рассчитываем пластинку в безразмерном виде:

По алгоритму статического метода В.З.Власова необходимо:

1.Вырезаем из пластинки полоску по одному направлению

2.Рассматриваем данную полоску как обыкновенную балку

Дифференциальное уравнение изгиба балки имеет вид:

В безразмерном виде: (1)

Кроме того используются граничные условия:

;

Необходимо получить выражение y(η) и для ее производной.

Интегрируем выражение (1): ; ;

=> ; ;

Используем граничные условия для нахождения С₁, С₂, С₃, С₄:

y(0)=0: 0+0+0+0+С₄ =0 => С₄=0

y^I(0)=0: 0+0+0+C₃=0 => C₃=0

Используем граничные условия на правом конце балки для подсчета величин С₁ и С₂:

;

Подставляя полученные значения:

- точное решение для балки, но приближенное решение для пластинки, по направлению у.

Амплитуда прогиба пластинки не связана с амплитудой прогиба балки и затем будет найдена из решения задачи по одному из методов

В проведенный характер изменения прогиба пластинки по направлению оси η.

Т.е. для дальнейших расчетов применим:

 

Лекция 28

 

Построение аппроксимирующих функций статическим методом В.З.Власова

Аналогично поступаем по другому направлению:

Записываем дифференциальное уравнение изгиба балки, вырезанной из пластинки:

(1)

Граничные условия: х(0)=0, х^II(0)=0

Получаем выражение для х(ζ):

Используем граничные условия для нахождения произвольных постоянных интегрирования:

Принимаем для дальнейших расчетов:

Проверяем, удовлетворяет ли функция граничным условиям:

Таким же образом можно проверить функцию у(η):

Надо помнить, что старшая степень х(ζ)=4, т.к. нагрузка ζ и η поставлена. В у(η) старшая степень 5, т.к. нагрузка изменяется линейно.

 

Рассмотрим пластинку со свободным закреплением края:

Вырезаем из пластинки полоску по направлению оси η. Рассматриваем балку.

Записываем дифференциальное уравнение изгиба балки:

На свободном крае:

Рассмотрим выражение

и меняется вдоль свободной стороны , т.е. результат будет разный, если взять ζ=ζ₁, ζ=ζ₂, ….

Записываем функцию прогиба в виде: - запись с разделяющимися переменными, при этом в решении выносится некоторая погрешность.

Производим смягчение граничащих условий по принципу Сен Венона:

 

- сумма работ изгибающих моментов на углах поворота вдоль стороны η равно 0. Данная запись следует из вариационной формулировки задачи.

Очевидно, что запись примет вид:

Интегрирование идет по ζ, поэтому величины, зависящие от η можно вынести за знак интеграла:

В данном случае у нас X(ζ)- известная функция: , поэтому величины определенных интегралов могут быть подсчитаны:

Известно, что

В EXCEL подсчет определенных интегралов:

В результате в полученной нами записи оказывается: обозначим

В результате получаем уравнения:

Подставляя сюда выражения для и :

(1)

Аналогично поступаем со вторым граничным условием:

- сумма поперечных сил Кирхгофа на прогибы 0

В результате некоторых преобразований получаем:

(2)

Дописываем (3) и (4) уравнения в данную систему:

(3)

(4)

Получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

На главной диагонали должны стоять не нулевые коэффициенты:

Лекция 29

 

РАСЧЕТ ПЛАСТИН МЕТОДОМ РИТЦА-ТИМОШЕНКО

При использовании прямых методов задача, сформулированная в дифференциальных уравнениях, сразу сводится к системе алгебраических уравнений.

Если задана функция у(х).

δ- бесконечно малая.

Т. Лагранжа- Лежен- Дирихле: устойчивому состоянию упругой системы соответствует минимуму ее полной потраченной энергии.

Полная потраченная энергия системы вычисляется по формуле:

Э=А-U (1)

Где А – работа внешней нагрузки, U- работа внутренних усилий.

! Перемещение совпадает с направление силы

U: сила совершает работу на перемещение, противоположное их направлению.

Для А и U имеются формулы для балок, пластинок и оболочек.

Для пластинок:

=>

Если q(x,y)=q(x)q(y) – разделения переменных

(2)

Где, В- искомая амплитуда прогиба, Х(х), Y(y)- аппроксимирование функции по каждому их направлению.

Если переменная разделяется функцией q и функцией W.

Для пластинок работы внутренних усилий равна:

Где .

Если W(x,y) можно принять в виде (2), то:

Вычитаем вариацию от полной потенциальной энергии:

С точности до бесконечно малых высшего порядка вариации функций равно первому дифференциалу:

- минимальная полная потенциальная энергия

В - может меняться, Х(х), Y(y)- фиксированные функции, соответствующие граничным условия и нагружению.

Вычисляя данную производную, можно записать:

В результате получается линейное алгебраическое уравнение:

Тогда: -

Предполагается, что задача будет решиться в безразмерном виде.

По методу Ритца-Тимошенко, основанного на т. Лагранжа- Лежен- Дирихле, необходимо задать функцию прогиба в виде:

Строим аппроксимированную функцию х(ζ): вырезаем полоску по направлению рассматриваемой оси ζ, рассматриваем ее как обыкновенную балку:

Аналогично строим аппроксимированную функцию у(η):

Данным граничным условиям должна удовлетворять функция

Подставляем выражение для Q_η

После этого выражение для прогиба определено с точностью до параметра В.

При решении задачи в безразмерном виде записывают следующее выражение для полной потенциальной энергии пластинки:

- отношение сторон пластинки

Построено статическим методом В.З. Власова. Тогда величины определенных интегралов:

Вычисляем величины определенных интегралов, входящий в вр.

В результате выражения для и принимают вид:

Далее зале записываются выражения:

- амплитуда прогиба пластинки

Тогда прогиб окончательно принимает вид:

Затем необходимо записать в безразмерном виде выражения для изгибаемых моментов и поперечных сил:

Выражения для поперечных сил:

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с очертанием эпюр в пластинках. По заданию на расчет пластинок строят необходимо следующее:

при ,

при

при

Необходимо сделать следующее:

Вводим:

 

WRITE (‘B=’); READLN (B);

1: WRITE (‘KCI=’); READLN (KCI);

WRITE (‘ETA=’); READLN (ETA);

W:=B*(KCI*KCI* KCI* KCI-1.5* KCI* KCI* KCI+0.5* KCI)* (ETA*….);

WRITELN(‘W=’,W); GOTO1;

 

Если прописать в W: M_ζ=…, M_η=…, Q_ζ=…, Q_η=…

ζ=0; 0.25; 0.5; 0.75; 1

η=…

В результате получаются эпюры характерного очертания:

 

Лекция 30

Расчет пластинок методом Бубнова-Галеркина.

Записываем дифференциальное уравнение изгиба элемента пластинки:

(1)

Для конкретной задачи записывается по два граничных условия в каждой точке.

Записываем дифференциальное уравнение в безразмерном виде: при этом расчет одной пластины соответствует бесконечному множеству реальных пластин.

Вводим безразмерные переменные и функции по следующим формулам:

,

- безразмерный параметр прогиба; - толщина (м).

,

Подставляя данные формулы в уравнение (1):

/:

Вводим параметр

(2)

- дифференциальное уравнение изгиба пластинки в безразмерном виде.

При этом пластинка примет вид:

В безразмерном виде формулы для внутренних силовых факторов примут вид:

- безразмерный изгибающий момент в направлении оси ζ.

Для оси η:

-

В уравнении (2) справа от знака “=”- внешние силы, а слева- внутренние.

Принцип Лагранжа: Сумма работ всех внешних и внутренних сил упругой системы на любом возможном и бесконечно малом перемещении равно 0.

Возможные перемещения должны быть совместимы с граничными условиями задач.

Применяем принцип Лагранжа к уравнению (2).

Возможное перемещение обозначим: .

В методе Бубнова-Галеркина прогиб в первом приближении решения записаться в виде:

А- амплитуда прогиба, максимальное из решения задач по методу Бубнова-Галеркина.

Вариации прогиба записываются в виде:

- бесконечно малое изменение амплитуды прогиба.

(3)

В результате подстановки можно записать:

- функция с разделяющимися переменными

- функция с разделяющимися переменными

Тогда получаем следующие выражения:

Т.к. функции и известны, то известны все величины определенных интегралов. После чего можно записать:

где и моменты инерции.

После нахождения амплитуды прогиба все величины в пластинке подсчитываются по следующим формулам:

Аналогичные формулы для этих параметров используются методом Рицце - Тимошенко.

Рассмотрим пример:

Получаем выражения для следующих производных функций

Подсчитаем интеграл:

Аналогично вычисляются интегралы I₁ и I₄.

в результате вычисления определенных интегралов получаются амплитуды прогибов А.

После этого необходимо посмотреть следующие эпюры:

Чтобы не ошибиться, можно использовать ПЭВМ;

Можно записать:

 

WRITE (‘x=’); READLN (x);

WRITE (‘y=’); READLN (y);

WRITE (‘A=’); READLN (A);

MKS:=-A*((12*x*x-9*x)*(y*y*y+y*…)+MU*…)

WRITELN(‘MKS=’,MKS);

 

Лекция 31

 

Расчет пластинок методом Власова-Конторовича

Рассмотрим конкретную пластинку.

Входные данные: a, b, h, E, μ.

Условие закрепления пластинки (4)

Условие нагружения q(x,y) – аналогичная функция.

Если распределение q(x,y) сложное, то нагрузку следует разложить в ряд и получить решение на каждый член ряда. Затем полученное суммируется.

Расчет загружения половины плоскости. По нормам расчет ведется по загружению всей половины и четверти плоскости.

Удобнее решать задачу в безразмерном виде.

Входными параметрами являются:

Условие закрепления (4)

- функция с разделяющимися переменными

При этом необходимо записать в безразмерном виде дифференциальные уравнения изгиба пластин:

(1)

Необходимо записать граничные условия:

 

: , - жесткое закрепление

Если шарнирное закрепление:

: ,

Т.к. сторона шарнирного закрепления остается прямой, то => (2)

Шарнирное закрепление : , =>

: ,

 

В соответствии с методом Власова-Канторовича запишем:

(3)

Одну из функций необходимо построить по методу В.З. Власова.

С₃=0, С₄=0

После этого функция становится полностью определенной.

Используем принцип Лагранжа.

Сумма работ внешних и внутренних сил упругости системы на любом возможном и бесконечно молом равно 0.

: заменено приближенным выражением.

- приближенное выражение.

- известная функция

- малое возмущение

Тогда получим:

Все величины, зависящие от η, могли быть получены из-под значения интеграла:

(4)

Т.к. функция известна, то известны и величины определенных интегралов:

В результате из выражения (4) получается обыкновенное дифференциальное уравнение вида, дающая точное решение.

(5)

Если рассмотреть полное дифференциальное обыкновенное уравнение с переменными коэффициентами, то для решения можно использовать метод конечных разностей.

Т.к. (5) является неоднородным уравнением, то решение запишется в виде:

- решение неоднородного уравнения, определяемое правилом (5) (6)

(7)

Приходим к алгебраическому уравнению (характеристическому):

(8)

,

Решение получается в комплексном виде. Необходимо преобразовать его в вид:

Тогда нужно подсчитать 2 величины:

Тогда решение однородного уравнения запишется в виде:

После этого необходимо частное найти решение уравнения:

Т.к. нагрузка по оси η постоянна и , то

- число

Тогда общее решение:

Если реализуется случай Р(η)=η, то

Остается найти произвольную постоянную интегрирования из условия закрепления пластинки по оси η

Получается система 4-х алгебраических уравнений относительно С₁, С₂, С₃, С₄, из которых находим эти величины.

: ,

Записываем выражение для производной функции у(η)

, , , ,

 

Лекция 32

Теории пластичности

Диаграмма деформирования пластичного материала.

Для расчета стальных конструкций пластичную диаграмму заменяют условной диаграммой Прандтля.

- идеально упругое пластичное тело

В зависимости от рассматриваемого материала (реального) выбирается та или иная (из условия совпадения теоретического материала данного опыта).

Для многих материалов диаграмма деформирования является не линейной.

Поэтому возникает необходимость математическое описание зависимости .

Существуют апробированные формы:

, (1) –степенная зависимость с двумя коэффициентами а и k.

Коэффициенты подбираются из наилучших соответствий теоретической кривой и опытных результатов.

(2) – кубическая парабола

(Па)- касательный модуль

Вычисляем величину секущего и касательного модулей:

Используем два условия:

1)при - начальный модуль материала.

В начальном участке деформирования траектория совпадает с упругой траекторией.

Для подсчета второго коэффициента используем условие:

, , что соответствует точке графика

Тогда:

Па – величины констант получаются в [Па]

Тогда формула имеет вид:

Теорию пластичности можно построить лишь путем введения определенных гипотез.

Вспомним термины, относящиеся к напряженному деформированному состоянию тела:

- тензор напряжения (тензор второго ранга)

Среднее нормальное напряжение в данной точке:

Для деформированного состояния вводим аналогичные величины:

- тензор деформации (второго ранга)

Средняя линейная деформация в данной точке тела:

Теория малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина

Данная теорема базируется на трех законах:

1)Закон изменения объема тела.

Изменен6ие объема происходит по линейному закону в следующем виде:

k - объемный модуль данного материала.

2)Закон изменения формы:

Изменение формы определяется дивиаторами напряжения и деформации:

пропорциональная зависимость между дивиаторами.

Подобие между напряжениями и деформационными состояниями изменения формы

3)Закон о единой кривой деформирования :
для любого вида напряженного состояния тела (одномерного, двухмерного, трехмерного) существует единая зависимость , причем функция f совпадает стыковой зависимостью при простом испытании материала.

К простому испытанию относится испытание на растяжение, сжатие, изгиб.

Затем, после получения функции f она применяется для любых типов напряженного состояния тела.

Как правило, при использовании теоремы Ильюшина вводят дополнительные упрощающие напряжения.

Обычно предполагается , следовательно несжимаем материал (для стержней, пластинок, оболочек значительно легче вызвать изменение формы, чем оббьем)

Запишем:

, , ,

- коэффициент Пуассона для несжимаемого материала.

Тогда формула следует из второго закона:

-более простые формулы

Траектория и подобны и у них совпадает главные оси.

 

УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА

 

Рассмотрим балку из материал с нелинейной зависимостью

- кубическая парабола

По теореме Журавского:

Возникает задача записи выражения для изгибающего момента М(z). При этом используются формулы для:

- нормальное напряжение по продольному направлению вертикального деформирования

;

- волокна по высоте балки не давят друг на друга.

- деформирование по толщине балки

- поперечный габарит балки остается постоянным

Для несжимаемого материала

Тогда: - для упругой задачи.

Для балки при нелинейной зависимости будем иметь:

Выражение деформирования через прогиб балки:

(совпадает с изменением в упругой балке)

Тогда выражение для момента имеет вид:

Подставляем в данную формулу следующие величины:

Тогда изгибающий момент:

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения:

Подсчитаем величины:

-момент инерции поперечного сечения

-геометрическая характеристика высшего порядка

Тогда выражение для изгибающего момента имеет вид:

подставим в формулу Журавского:

Тогда:

(1)

Для упругой балки получаем:

Уравнение (1) соответствует уравнению равновесия элемента балки под действием распределенной нагрузки q с учетом нелинейной зависимости деформации.

Для конкретизации задачи необходимо задать

1)q(z)

2)граничные условия по концам балки:

 

Лекция 33

 

СПОСОБЫ КОНКРЕТНОГО РАСЧЕТА ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ БАЛОК

Укажем один из способов решения уравнения изгиба физически-нелинейной балки:

(1) -обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение (т.к. во второе слагаемое входит В³)

E, m- постоянные

(3)-кубическая парабола

,

(1)- уравнение равновесия элементарной части балки.

Для задания конкретной задачи необходимо задать внешнюю нагрузку на балку и условие закрепления.