Гипотезы сопротивления материалов.

1. Принцип относительной жёсткости.

 

Деформированное состояние (всегда изображается утрированно).

 

∆<<L, поэтому считаем, что L≈L₁

- Ведем расчет по исходной недеформированной схеме.

 

2. Материал считается сплошным и однородным (можно использовать аппарат дифференциального интегрального исчисления).

 

3. Материал считается изотропный (св-ва по всем направлениям в точке тела одинаковые).

 

4. Материал считается упругим (после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает свою форму и объём).

 

5. Линейно-деформируемое тело (пропорциональная связь между нагрузками и перемещениями)

6. Принцип независимости действия силы (принцип суперпозиции).

Эффект от суммы воздействий = сумме эффектов от каждого воздействия в отдельности.

Классификация внешних воздействий и опорных закреплений.

 

m - сосредоточенный момент,

P – сосредоточенная сила.

Момент даст нулевую сумму проекций сил на любую ось.

[M]=HM

 

Интенсивность нагрузки – величина нагрузки, собираемая с одного погонного метра длины стержня.

Опорные закрепления.

 

В жестком защемлении (заделке) присутствуют одновременно три устройства, препятствующие: 1.горизонтальному перемещению стержня в опорном сечении, 2. вертикальному перемещению стержня в опорном сечении, 3. повороту опорного сечения стержня.

 

Этапы решения инженерных задач.

1. Постановка задачи (Цель исследования)

например, рассчитать надоконную перемычку.

2. Создание расчетной схемы

это упрощённый образ объекта (сохраняет основные, существенные свойства объекта).

3. Математическая модель (задача сводится к системе алгебраических или дифференциальных или интегральных уравнений).

4. Метод решения задачи.

5. Создание алгоритма решения и программы для ПК (желательно использовать готовые программные комплексы).

6. Решение задачи.

7. Инженерное осмысление полученного результата и получение выводов.

 

 

Лекция 2

Статическая сторона задачи

Основная теорема статического равновесия тел.

Если тело (часть его) находятся в равновесии, то:

1) Сумма проекций всех активных и реактивных сил на любую ось = 0

2) Сумма моментов всех сил относительно любой оси = 0.

Если рассматривается плоская задача, то

Для решения всех задач обязательно составляются уравнения равновесия.

Метод сечений.

РОЗУ – аббревиатура метода сечений:

1) Разрезаем (мысленно) стержень некоторым сечением

2) Отбрасываем одну из частей стержня

3) Заменяем действие отброшенной части внутренним продольным усилием N (при растяжении-сжатии стержня)

4) Уравновешиваем оставшуюся часть тела (составляем уравнение(я) равновесия).

 

Рассмотрим равновесие верхней от сечения части стержня

Нужно рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше усилий.

Правило знаков для продольного усилия N при растяжении- сжатии.

Пример:

Эпюра- график, показывающий изменение некоторой величины вдоль оси стержня.

1) Определим реакцию V_a=?

V_A>0, следовательно, направление V_A выбрано верно. Если V_A<0, оставляем направление V_A, но считаем её отрицательной величиной.

2) Строим эпюру внутренних продольных усилий N

Уч.0-1

0<=y₁<=3 - универсальное сечение с текущей координатой

РОЗУ

 

Уч.1-2 0<=y<4

РОЗУ

 

 

На эпюре N: 1) Под каждой сосредоточенной силой реализуется скачок на величину данной силы;

2) При отсутствии распределённых по длине нагрузок на каждом i-участке стержня N_i=const

 

 

Учет распределённых по длине нагрузок

Определить расчетное сопротивление саратовского кирпича

Определена активная нагрузка на стену

1) Определяем опорную реакцию V_A=?

∑F_y=0: +V_A –qh=0; V_A=qh=γAh = H= V_A

 

Уч.0-1 0<=y<=h = 50 (м)

0<=y₁<=h

РОЗУ

 

Внутренние напряжения

Вводим гипотезу о равномерном распределении нормальных напряжений в поперечном сечении стержня

Следует помнить, что 1МПа=10⁶Па

Условие прочности следующее:

|σ|_max=|N|_max/A <=R, где R - расчетное сопротивление

 

R=>|N|_max/A=|-γAh|/A=γh=2,2*10⁴ (Н/м³)* 50 (м)= 1,1 МПа

 

С учетом веса перекрытия, покрытия и нагрузки на этажи получается, что сопротивление саратовского кирпича >= 1,5 МПа.

Лекция 3

Расчет ступенчатого бруса

1)V_A-?

ΣF_y=0

+V_A-5*3-10*3-15+30=0(кН)

V_A=15+30+15-30=30(кН)

2)N=?

Уч.2-3, 0<=y<=3

РОЗУ

Уч.0-1, 0<=y₁<=3

РОЗУ

3)уч.1-2, 3<y₁<6

РОЗУ

1) q_i=0 N_i=const

2) На участках бруса, где q_i= const(i) N_i(y)=a_i- q_i y - прямая

3) Под каждой сосредоточенной силой (P_i, V_i) реализуется скачок на величину данной силы.

4) Подсчитаем требуемые площади поперечных сечений ступенчатого бруса из условия их прочности σ =N/A

|σ _i|_max=|N _i|_max/A _i<=R=200(МПа) - расчетное сопротивление для стали

A_{i треб}>=|N _i|_max/R

A_{тр 0-1}>= (30*10³(Н))/(200*10⁶(Н/м²))=150*10^-6=150/1000000=1,5*10^-4=1,5 (см²)

A_{тр 1-2}>=15*10³/200*10⁶=0,75*10^-4 м²=0,75 см²

A_{тр 2-3}>=30*10³/200*10⁶=1,5 (см²)

Строим эпюру нормальных напряжений по длине бруса

σ_i =N_i/A_i

На каждом участке стержня необходимо вычислить:

σ₀=30*10³/1,5*10^-4=20*10⁷=200*10⁶ Па=200 МПа

σ₁=15*10³/1,5*10^-4=100 (МПа)

σ_1(низ)=15*10³/0,75*10^-4=200 МПа

σ_2(верх)= -15*10³/0,75*10^-4=-200 МПа

σ_2(низ)= -30*10³/1,5*10^-4=-200 МПа

σ_1(верх)= -30*10³/1,5*10^-4=-200 МПа

Итак, на каждом участке бруса эпюра σ подобна эпюре N

Строим эпюру продольных перемещений сечений бруса δ (дельта) δ=?

Е- модуль юнга

δ ₀=0_А=0 (заделка в т. А)

 

δ ₁= δ ₀+ Δl₀₁= δ0+((N0+N1)/2)l01/EA01=0+((30+15)/2)10³*3/(2*10¹¹)*1.5*10^-4 = =0+22.5*10^-4=2.25*10^-3 (м)

 

δ ₂= δ ₁+ Δl₁₂=22,5*10⁴+(15-15)*10^3*3/(2*10¹¹)*0,75*10^-4=22,5*10^-4=2,25*10^-3 (м)

 

δ ₃= δ ₂+ Δl₂₃=22,5*10^-4+(-30-30)*10³*3/(2*10¹¹)*1,5*10^-4=22,5*10^-4-30*10^-4=-7,5 *10^-4=-0,7510^-3

 

Определяем δ _max в сечении, где N=0

δ _max= δ _max+ Δl _max= 2,25*10^-4+((15+0)/2)*10³*1.5/2*10¹¹0.75*10^-4=22.5*10^-4+ +7.5*10^-4=30*10^-4=3*10^-3 (м)

Итак, на эпюре δ:

1) На участках, где q_i=0, δ _i(y)=a_i+b_iy -прямая

2) На участках, где q_i=const, δ _i(y)=a_i+b_iy+c_iy² – парабола второй степени

3) δ _i=0 -в заделанном (защемленном) сечении бруса

4) Эпюра δ(y) не имеет разрывов 1 рода (нет скачков на данной эпюре)

 

Выше было рассмотрена статическая сторона задачи:

1) Уравнения равновесия (ΣF_y=0)

2) Внутренняя продольная сила (N(y))

3) Нормальное напряжение σ=N/A=(Н/м²=Па)

 

Геометрическая сторона задачи

Растяжение и сжатие

Абсолютная величина Δl не характеризует состояние стержня. Вводим понятие о продольной деформации стержня ε (относительной величине)

ε= Δl(м)/l(м)= безразмерная величина, которая характеризует состояние стержня в данной его точке

Например, для стали ε<=0.0012

 

Рассмотрим аналогичную задачу для поперечного направления, перпендикулярного действующим продольным силам и получаем абсолютное изменение поперечного габарита стержня

Δb=b₁-b (1)

ε ₁= (b₁-b)/b= Δb/b (2)

- поперечная деформация стержня.

Пуассон в 19в. установил: следующий закон связи продольной и поперечной деформаций при растяжении-сжатии стержня

ε ₁=-µε (3)

который гласит: Продольная деформация противоположна по знаку и пропорциональна поперечной деформации.

µ (мю)- коэффициент Пуассона, характеризующий свойства материала

µ_сталь=0,3; µ_бетона=0,1; µ_{железобетона}=0,15; µ=0,2 (сильно армированный ж/б)

Физическая сторона задачи:

Ставим в качестве основной задачи нахождение уравнения связи между напряжениями и деформациями. Рассматриваем опытные испытания круглого стального образца из малоуглеродистой стали с площадью поперечного сечения

На участке 0<= σ <= σ _n (до предела пропорциональности) напряжения прямо пропорциональны деформациям

σ _у –предел упругости

σ_y =tg * ε_y (4)

если σ <= σ _y, то образец при его разгрузке полностью восстанавливает свои первоначальные форму и объем

σ _Т –предел текучести материала, при котором происходит перестройка кристаллической структуры материала с образованием неустранимых пластических деформаций.

 

За площадкой текучести условные напряжения в образце , где A - первоначальная площадь поперечного сечения образца, вновь возрастают до величины σ _в – временного сопротивления. Если разгрузить образец в этой зоне, то имевшаяся у него продольная деформация разделится на две части, а именно:

ε _упр - исчезающую упругую деформацию

ε _пласт – необратимую пластичную деформацию

При повторном нагружении образца будет наблюдаться пропорциональная связь между напряжением и деформацией. Т.е. формула (4) справедлива и при разгрузке, и при повторном нагружении за пределами площадки текучести

 

σ _упр=tg α * ε _упр, где размерности следующие: Н/м²= (Н/м²)*безр, поэтому в правой части формулы в Н/м² измеряется важнейшая физическая const материала: МОДУЛЬ ЮНГА:

tg α=Е (Па) – модуль Юнга

Поэтому в современной редакции закон Гука при растяжении-сжатии имеет вид:

σ =Е * ε (5)

Приводим сводку значений модуля Юнга для конструкционных материалов:

Е=2,2*10¹¹Па - модуль для стали (1905г)

Е=2,1*10¹¹Па - модуль для стали 1935г - (Германия, оболочки покрытия из ж/б)

Е=2,06*10¹¹Па - модуль для стали по современному СНиП

Е=1,85*10¹¹Па - очень хорошая сталь (мост в Стамбуле через Босфор)

Е=2,1*10¹⁰Па - 4*10¹⁰Па - бетоны различного класса

Е=1*10¹⁰Па - модуль Юнга для сосны

Всегда следует помнить, что Е и µ- 2 основные физические const изотропного материала

Задача:

Вывести формулу для удлинения стержня при растяжении-сжатии: Δl=?

(6)

А- площадь поперечного сечения.

 

Лекция 4

Рассмотрим конкретный пример расчета стержня

1) V_A=? :

2) N=?

РОЗУ

:

N(0)= -P=-50 кН

N(4)= -50-40= -90 кН

СНиП: сталь:

 

К=1,2.. – коэффициент запаса прочности

Расчетное сопротивление для конструкций стали:

, i – конкретная точка по длине стержня

(9) – формула расчета на площадь при растяжении и сжатии

А=const

Расчет ступенчатого стержня на растяжении и сжатии

Модуль Юнга Е=2*10¹¹Па

1. Определение величины опорной реакции

V_A=?

2. Строим эпюру продольных усилий N

Эп.N=?

уч.2-3

РОЗУ

:

3. Уч.1-2

РОЗУ

:

4. Уч.0-1

РОЗУ

:

На эпюре N всегда:

1) На участках без распределений нагрузки (где q_i=0) N_i=const

2) На участках с равномерно распределённой нагрузкой q_i=const, N_i=a_i+-q_i*y – прямая

3) Под каждой сосредоточенной силой на эпюре N реализует скачок на величине данной силы (P_j;V_k)

4) Подбираем площади A поперечных сечений стержня из условий их прочности

R- расчетное сопротивление

5.

6. Строим эпюру нормальных напряжений

; i=1,2,3,…

На каждом участке стержня необходимо рассмотреть 2 крайние точки

Итак, эпюра всегда на каждом участке стержня подобна эпюре N.

7. Строим эпюру вертикальных перемещений сечений бруса

-при N=const – частный случай

(N– по закону прямых линий)

(заделан. сечение)

Рассмотрим отдельный случай, когда на участке стержня эп.Nпроходит через 0 график

В сечении, где N=0

8-2x=6x

8=8x

x=1

Итак, эп. δ всегда:

1) на участке, где q_i=0 - прямая

2) на участке с распределённой нагрузкой, q_i=const

-парабола

3) эп. непререрывна (на ней нет скачков)

4) в заделанном сечении стержня

5) в сечении, где N=0,

Лекция 5

Статически определимые и статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

В статически определимых задачах неизвестные находят из уравнений статики

1) В статически неопределимых задачах уравнений статики недостаточно для нахождения неизвестных

 

одно уравнение с 2-мя неизвестными

0=0

Необходимо записать 2-е уравнение из условия, что длина стержня L=const

Рассмотрим температурную статически неопределимую задачу

При нагревании стержня он стремится расширится, однако этому препятствуют жесткие (несмещаемые) опоры

(1) Статическая сторона задачи:

Составим уравнения равновесия

- одно уравнение с 2-мя неизвестными

(2) Геометрическая сторона задачи:

l=const, т.е. расстояние между т. А и В остается постоянным

Используем метод сечений (РОЗУ)

Р азрежем стержень сечением непосредственно у нижней опоры B

О тбрасываем нижнюю часть конструкции, т.е. опору В

З аменяем отброшенную опору В реакцией V_B

Составляем уравнение

Которое соответствует отсутствию смещения т. В по вертикали:

,

(1)

-коэффициент температурного расширения конкретного материала (1/град)

Для меди

Для стали

Для бетона

Возможность существования ж/б объясняется относительной близостью величин для стали и бетона

Подставляя полученные слагаемые в выражение для и получаем

Рассмотрим конкретные значения:

Итак, при решении задачи использовались:

1.Ур-е равновесия

2.Геометрические уравнения

3.З-н Гука (физическая сторона задачи)

Рассмотрим применение данного алгоритма к расчету следующей статически неопределимой системы:

: одно уравнение с 2-мя неизвестными

Для составления геометрического уравнения будем считать абсолютно жестким горизонтальный брус, который реально почти не изгибается при нагружении системы.

Изображаем деформированное состояние системы

 

(2) -геометрическое уравнение

 

В геометрическое уравнение (2) не входят искомые усилия N₁ и N₂, поэтому необходимо

рассмотрение физической стороны задачи (уравнений закона Гука)

(3)

А₁=А₂=А

,

Подставляя данные формулы в уравнение (2)

 

Рассмотрим пример статически неопределимой системы, когда усилие в одном из стержней является отрицательным

Вновь считает брус абсолютно жестким.

1) Уравнение статического равновесия

: (1)

(2)

Данная запись необходима для того, чтобы в обоих частях равенства были положительные величины

, (3)

 

 

Лекция 6

Рассмотрим полный расчет статически неопределимой системы на растяжение и сжатие

1. Расчет системы по упругой стадии работы подвесок

 

,

1) Составляем уравнение статического равновесия:

РОЗУ

: (1)

Получаем одно уравнение с 2-мя неизвестными, т.е. задача является статически неопределимой

 

 

2) Геометрическая сторона задачи

Абсолютно жесткий брус остается прямолинейным в процессе напряжения системы

(2) -геометрическое соотношение неразрывности деформации

3) Рассматриваем физическую сторону задачи

-закон Гука

-развернутая формула записи закона Гука при растяжении и сжатии

24N₁=9N₂

в уравнение равновесия (1)

Проверка: -6*35-3*13,15=-250

-210-39,45=-205

2.Определяем габариты поперечных сечений стержней подвески

Исходные данные:

А₁=2А, А₂=А

1)Составляем величины в стержнях

Выбираем площадь поперечных сечений стержня

Определяем габариты поперечных сечений подвесок

(квадрат) А=а² (круг)

2)Расчет по предельной несущей способности системы

Используем идеализированную диаграмму деформированного материала, предложенную одним из создателей теории пластического течения Прандтлем.

возьмем увеличение нагрузки на систему, т.к. и

Доводим систему до уровня нагружения

: ,

Тогда максимально возможное усилие 1-го стержня:

Т.к. при Р₁: , то можно увеличить нагрузку на систему

При Р₁<P₂:

При Р₂ =P_T система находится в предельном состоянии

Определяем величину силы, соответствующей данному предельному состоянию системы

При нагрузке Р^Т система находится в предельном состоянии, поэтому необходимо ввести коэффициент запаса по несущей способности, для чего можно использовать формулу:

Принимаем коэффициент запаса по несущей способности таким же, как коэффициент запаса по прочности

Р=50кН

Сопоставляем величины нагрузок при расчете по упругости стадии работы и возникновении пластичной деформации

Таким образом, при расчете по несущей способности величины расчетных нагрузок на систему могут быть приняты большими, нежели чем при расчете по упругой стадии работы материала, когда достижение расчетного сопротивления в одном (наиболее напряженном стержне) ограничивает дальнейшее увеличение нагрузки на статически неопределимую систему.

Учет неточностей монтажа и осадок опор статически неопределимой системы

На каждое изделие существуют так называемые допуски и посадки

Например, допустимы малые отклонения реальной длины стержня от его проектной длины

Единственный разумный способ монтажа: одновременное перемещение проушины В вниз и проушины С вверх

После монтажа система принимает вид:

1)Применяем метод сечений РОЗУ

(1)

2)Рассмотрим геометрическую сторону задачи

 

(2)

Необходимо ввести в данное уравнение усилия N₁ и N₂ , поэтому необходима:

3)Физическая сторона задачи

, (3)

Подставляя (3) в (2):

N₁=N₂:

Предположим, что , тогда:

4)Определяем величины напряжений в стержнях подвесок

- начальное напряжение в стержнях подвесок, равное , поэтому при приложении величины расчетной нагрузки Р к стержню система разрушится, то есть учет неточностей монтажа и осадок опор в статически неопределимых системах необходим.

Лекция 7

Оптимизация статически неопределимых систем

 

Основные параметры оптимизации:

- стоимость

- расход конструкционных материалов

- сроки возведения

Займемся вопросом о расходе материала

(2)

, (3)

:

(**)

Обеспечиваем равнопрочность стержней 1 и 2

(*)

:

(1)

Полученное равенство дает возможность сформулировать условие равнопрочности для статически неопределимых систем: В равнопрочных стержневых системах отношение длины вертикальной подвески к ее расстоянию от шарнирно-неподвижной споры - величина постоянная.

Рассмотрим пример системы с несколькими подвесками

 

 

Предположим, что система будет равнопрочной, т.е. соблюдается условие

Выясним вопрос о возможности повышения несущей способности системы.

Предположим, что:

в первом стрежне площадь поперечного сечения А₁ , а , тогда ;

во втором стержне площадь поперечного сечения А₂ , а , тогда

Получим: .

:

а_1нов=2а ₁; а_2нов=2а₂

P_нов= 2P, что дает возможность сделать важный вывод:

При пропорциональном увеличении расстояний от стержней подвески до опоры пропорционально растет несущая способность системы.

При увеличении плеча одного из стержней несущая способность также возрастает.

Расход материала определяется:

V= A* l

Если стержень с постоянными A и l перемещать вдоль абсолютно жесткого бруса, то объем остается постоянным. Следует добиваться наибольшего плеча силы Pотносительно шарнирно-неподвижной опоры А.

Задача:

1) AB = a₁*sinα

AC = a₂*sinα

0 = N₁*AB+N₂*Al-Pb (І)

2) Геометрическая сторона задачи:

(І І)

(І І І)

a₁*sinα₁ = AB = ρ₁

a₂*sinα₂ = AB = ρ₂

, где ρ – плечо относительно шарнирно-неподвижной опоры.

 

Полученное равенство дает возможность сформулировать условие равнопрочности для статически неопределимых систем с произвольным углом ориентирования повесок:

В равнопрочной статически неопределенной системе отношение длины конкретного стержня к плечу усилия в нем относительно шарнирно-неподвижной опоры – величина постоянная.

Лекция 8

 

Геометрические характеристики плоских сечений

Первой геометрической характеристикой является площадь поперечных сечений А (м²). Для вычисления площади необходимо:

(1) Сложные фигуры можно представить в виде набора треугольников:

Рассмотрим вопрос о площадях и положения центра тяжести элементарных фигур.