Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 3. Векторные пространства
Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов. Векторное ( линейное) пространство; его размерность и базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. ([1 или 6, § 3.1 – 3.3, 3.5 – 3.8]; [2 или 7, § 3.1 – 3.5], или [3, § 3.1–3.3, 3.5−3.8, 3.10 – 3.14], или [4, § 3.1 – 3.3, 3.6, 3.8, 3.10, 3.11, 3.13, 3.15–3.20]). В школьном курсе математики рассматривалось понятие вектора как направленного отрезка, т.е. множества точек, заключенных между двумя точками прямой с указанным направлением. Там же определялись операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), вводились координаты и понятие длины вектора. Множества всех плоских и пространственных векторов, для которых определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных (линейных) пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства, являющегося основным объектом линейной алгебры. Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводится точно так же, как это было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Обращаем внимание на то, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. А если среди векторов есть нулевой вектор, то такие векторы всегда линейно зависимы. Нужно четко знать понятие базиса n -мерного пространства, представляющего совокупность его n линейно независимых векторов. При этом любой вектор линейного пространства может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Надо уяснить, что, например, три пространственных (два плоских) вектора могут образовать базис, если они некомпланарны (неколлинеарны). Если же они компланарны, т.е. лежат в одной плоскости (коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой), то любая их линейная комбинация представляет вектор, лежащий в той же плоскости (на той же прямой), следовательно, по таким векторам не может быть разложен другой вектор, не лежащий в той же плоскости (на той же прямой), а это значит, что компланарные (коллинеарные) векторы базис трехмерного (двумерного) пространства не образуют.
Векторное пространство, как отмечено выше, представляет множество векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, но не определен способ измерения длин векторов и углов между ними. Это становится возможным с введением скалярного произведения векторов и непосредственно связанного с ним понятия евклидова пространства. Скалярное произведение двух векторов надо знать в двух формах (как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними и как сумма произведений соответствующих координат (компонент) этих векторов). Обратите внимание на приведенные с решениями задачи [1, или 6, или 3, примеры 3.1– 3.3]. В конце темы вводятся понятия ортогональных векторов. Это позволяет в евклидовом пространстве выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные базисы, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную прямоугольной (декартовой) системе координат в аналитической геометрии (см. тему 6).
Тема 4. Линейные операторы Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы. Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. ([1 или 6, § 3.6, 3.7]; [2 или 7, § 3.3, 3.4], или [3, § 3.6, 3.7, 3.12,3.13], или [4, § 3.8, 3.10, 3.18, 3.19]). . В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной алгебры – понятие линейного оператора (преобразования, отображения), представляющего закон (правило), по которому каждому вектору х n -мерного пространства ставится в соответствие один вектор y m -мерного пространства . При оператор обращает в себя.
Линейность оператора определяется выполнением свойств аддитивности и однородности оператора [1, или 6, или 3, § 3.6]. Нужно знать, что каждому линейному оператору соответствует матрица А в некотором базисе . Верно и обратное утверждение . С помощью этой матрицы для любого вектора х можно найти его образ – вектор y. Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы, которые под воздействием линейного оператора преобразуются в новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов оператора (матрицы А), а соответствующие им числа – собственных значений оператора (матрицы А). Точные определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в [1, или 6, или 3, пример 3.7]. Если базис линейного оператора составить из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу, а соответствующая операция называется приведением данной матрицы к диагональному виду ([1, или 6, или 3, пример 3.8]).
Тема 5. Квадратичные формы Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Матричная форма записи квадратичной формы.. Канонический вид и ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерий определенности квадратичной формы через собственные значения ее матрицы. Критерий Сильвестра. ([1 или 6, § 3.8]; [2 или 7, § 3.5], или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]). Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении прикладных задач. Если в n -мерном линейном пространстве выбрать некоторый базис, то квадратичную форму можно рассматривать как некоторую функцию векторного аргумента . Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной формы, ее канонический вид. Уметь приводить в простых случаях квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это возможно сделать многими способами, но ранг квадратичной формы при этом не меняется. Студент должен владеть двумя способами исследования на знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что квадратичная форма (т.е. ) является знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных критериев, ибо матрица квадратичной формы , как нетрудно показать, имеет положительные собственные значения , , а угловые (главные) миноры , также положительные. А квадратичная форма не является знакоопределенной, так как ее матрица имеет разные по знаку собственные значения и , а угловые миноры , чередуются по знаку, начиная с положительного значения (при , квадратичная форма была бы знакоотрицательной) – (см. [1 или 6, примеры 3.11, 3.12], или [3, примеры 3.11, 3.12, 3.109, 3.110]).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 206; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.156.156 (0.006 с.) |