Тема 15. Дифференциальные уравнения 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Тема 15. Дифференциальные уравнения



Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса. Дифференциальные уравнения первого порядка (неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные) ([1или 6, §12.1, 12.2, 12.4 – 12.6]; [2 или 7, §12.1 – 12.4], или [3, §12.1, 12.2, 12.4 – 12.6, 12.11 – 12.14], или [5, §8.1, 8.2, 8.4 – 8.6, 8.12 – 8.15]).

1. Во многих задачах экономики, физики, экологии встречаются уравнения, связывающие искомую функцию одной или нескольких переменных с производными (или дифференциалами) различных порядков и получившие название дифференциальных уравнений. Одна из таких задач о построении простейшей математической модели демографического процесса ([1или 6, или 3, пример 12.3]) рассматривается в данной теме.

2. Обратите внимание на то, что задача Коши – задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальному условию всегда имеет решение и притом единственное. Геометрически это означает существование единственной интегральной кривой дифференциального уравнения, проходящей через каждую точку открытого множества, в которой функция определена.

3. Студент должен знать основные понятия и уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка различных типов – неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Раздел VI. РЯДЫ

 

Тема 16. Числовые ряды

Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказать). Расходимость гармонического ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак сравнения, Даламбера. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость. ([1 или 6, § 13.1–13.5]; [2 или 7, § 13.1 – 13.3], или [3, §13.1 – 13.7], или [5, §9.1 – 9.7].

При изучении данной темы студенты знакомятся с новой формой изучения числовой последовательности. Следует уяснить, что обозначение , или u 1 + u 2 + …+ un + …, – символ, который не следует смешивать с обычной (конечной) суммой. Сумма и сходимость ряда определяется через предельный переход. При рассмотрении ряда могут решаться задачи: определение его суммы и исследование сходимости. Решение первой задачи «перекрывает» и вторую, но это не всегда возможно или вызывает значительные трудности. Решение второй задачи не менее важно, так как в случае, если ряд сходится, его сумма существует и ее можно найти приближенно с любой степенью точности, взяв сумму достаточного числа его первых членов.

Нужно уяснить, что необходимый признак сходимости (для сходящихся рядов при ) не является достаточным, но из необходимого признака сходимости следует, что если предел общего члена , то ряд расходится. Поэтому исследование сходимости числового ряда рекомендуется начинать с вычисления предела его общего члена (если он находится не очень сложно). Если предел окажется равным нулю, то это означает, что ряд может сходиться. Чтобы установить, сходится ли ряд, далее применяют достаточные признаки сходимости.

Применяя признаки сравнения, можно использовать в качестве «эталонных» следующие ряды:

1) геометрический ряд – сходится при | q |<1, расходится при

2) гармонический ряд – расходится;

3) обобщенный гармонический ряд – сходится при расходится при

К признаку сравнения обращаются тогда, когда признак Даламбера показывает, что . Во всех этих случаях применения достаточных признаков сходимости речь идет об исследовании рядов с положительными членами.

Говоря о сходимости знакочередующихся рядов, следует иметь в виду два типа сходимости: абсолютную и условную. Важность этих понятий связана с тем, что абсолютно сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами конечных сумм в отличие от условно сходящихся рядов. Решать вопрос о сходимости знакочередующегося ряда рекомендуем в таком порядке.

1. Составить ряд из абсолютных величин членов данного знакочередующегося ряда.

2. Исследовать сходимость полученного ряда. Может оказаться, что этот ряд сходится. Тогда исходный ряд также сходится, и притом абсолютно. Задача решена.

Если же составленный ряд расходится, то в этом случае о сходимости или расходимости исходного ряда сделать вывод нельзя; необходимо выполнить пункт 3.

3. Исследовать условную сходимость исходного знакочередующегося ряда, например, по признаку Лейбница.

 

 

 

 

 

Вопросы для самопроверки

Часть I. Линейная алгебра

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

2. Определители 2, 3 и n -го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k- го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.

11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

13. n -мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

15. Скалярное произведение векторов в n -мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.

18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.

21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).

24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.

27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 215; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.142.134 (0.029 с.)